P1
1 Determine todos los pares $(a,b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ de números complejos que satisfacen $|a|=|b|=1$ y $a+b+a\overline{b} \in \mathbb{R}$.
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2024 Rioplatense Mathematical Olympiad 2024 P6
6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$, y sea $H$ su ortocentro. Sean $D$, $E$, $F$ y $M$ los puntos medios de $BC$, $AC$, $AB$ y $AH$, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AHD$, $BMC$ y $DEF$ pasan por un punto común.
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P9
9 Sea \(n\) un entero positivo. Para cada entero positivo $1 \leq k \leq n$ se define la sucesión ${\displaystyle {\{ a_{i}+ki\}}_{i=1}^{n }}$, donde $a_1,a_2, \dots ,a_n$ son enteros. Entre estas \(n\) sucesiones, ¿para cuántas de ellas, como máximo, todos los elementos de la sucesión dan restos diferentes al ser divididos por \(n\)?
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2022 Benelux Mathematical Olympiad P4
4 Un subconjunto $A$ de los números naturales $\mathbb{N} = \{0, 1, 2,\dots\}$ se llama bueno si todo entero $n>0$ tiene a lo sumo un divisor primo $p$ tal que $n-p\in A$. (a) Demuestre que el conjunto $S = \{0, 1, 4, 9,\dots\}$ de los cuadrados perfectos es bueno. (b) Encuentre un conjunto bueno infinito disjunto de $S$. (Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.)
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2022 Benelux Mathematical Olympiad P2
2 Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ hormigas caminando a lo largo de una línea a velocidades constantes distintas de cero. No es necesario que las diferentes hormigas caminen a la misma velocidad o caminen en la misma dirección. Cada vez que dos o más hormigas chocan, todas las hormigas involucradas en esta colisión cambian instantáneamente de dirección. (No es necesario que las diferentes hormigas se muevan en direcciones opuestas cuando chocan, ya que una hormiga más rápida puede alcanzar a una más lenta que se mueve en la misma dirección). Las hormigas continúan caminando indefinidamente. Suponiendo que el número total de colisiones es finito, determine el mayor número posible de colisiones en términos de $n$.
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1998 May Olympiad P3
3 Hay cuatro botes en una de las orillas del río; sus nombres son Ocho, Cuatro, Dos y Uno, debido a que ese es el número de horas que le toma a cada uno de ellos cruzar el río. Un bote puede ser atado a otro, pero no más de uno, y entonces el tiempo que toma cruzar es igual al del más lento de los dos botes. Un solo marinero debe llevar todos los botes a la otra orilla. ¿Cuál es la cantidad mínima de tiempo que se necesita para completar el traslado?
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P4
4 Sean $a,b,c$ enteros positivos dados coprimos dos a dos tales que $a>bc$. Sean $m<n$ enteros positivos. Decimos que $m$ es un nieto de $n$ si y solo si, para todas las posibles pilas de piedras cuya masa total suma $n$ y consisten en piedras con masas $a,b,c$, es posible retirar algunas de las piedras de esta pila de tal manera que, al final, podamos obtener una nueva pila de piedras con una masa total de $m$. Encuentre el mayor número posible que no tenga ningún nieto.
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P8
8 Se da una sucesión de números reales positivos $a_1, a_2, a_3,\dots $ y un entero positivo \(s\). Sea $f_n(0) = \frac{a_n+\dots+a_1}{n}$ y para cada $0<k<n$ \[f_n(k)=\frac{a_n+\dots+a_{k+1}}{n-k}-\frac{a_k+\dots+a_1}{k}\] Entonces, para todo entero $n\geq s,$ se satisface la condición \[a_{n+1}=\max_{0\leq k<n}(f_n(k))\] Demuestre que esta sucesión debe ser eventualmente constante.
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1998 May Olympiad P4
4 $ABCD$ es un cuadrado de centro $O$. Sobre los lados $DC$ y $AD$ se han construido los triángulos equiláteros $DAF$ y $DCE$. Decida si el área del triángulo $EDF$ es mayor, menor o igual al área del triángulo $DOC$. https://4.bp.blogspot.com/-o0lhdRfRxl0/XNYtJgpJMmI/AAAAAAAAKKg/lmj7KofAJosBZBJcLNH0JKjW3o17CEMkACK4BGAYYCw/s1600/may4_2.gif
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2022 Benelux Mathematical Olympiad P3
3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno. Sea $B_1$ el punto en el rayo $[AC$ tal que $|AB_1|=|BB_1|$. Sea $C_1$ el punto en el rayo $[AB$ tal que $|AC_1|=|CC_1|$. Sean $B_2$ y $C_2$ los puntos en la recta $BC$ tales que $|AB_2|=|CB_2|$ y $|BC_2|=|AC_2|$. Demuestre que $B_1$, $C_1$, $B_2$, $C_2$ son concíclicos.
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