8 Se da una sucesión de números reales positivos $a_1, a_2, a_3,\dots $ y un entero positivo \(s\). Sea $f_n(0) = \frac{a_n+\dots+a_1}{n}$ y para cada $0<k<n$ \[f_n(k)=\frac{a_n+\dots+a_{k+1}}{n-k}-\frac{a_k+\dots+a_1}{k}\] Entonces, para todo entero $n\geq s,$ se satisface la condición \[a_{n+1}=\max_{0\leq k<n}(f_n(k))\] Demuestre que esta sucesión debe ser eventualmente constante.