P6
6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos de tangencia de $\omega$ con $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $EF$ la recta que corta al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $G$ y $H$. Suponga que $E$ se encuentra entre los puntos $F$ y $G$. Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $G$ y $H$ y que es tangente a $\omega$ en el punto $M$, el cual se encuentra en un semiplano distinto al de $D$ con respecto a la recta $EF$. Sea $\Gamma$ el círculo que corta a $BC$ en los puntos $K$ y $L$, y sea $N$ el segundo punto de intersección del circuncírculo de $ABC$ y el circuncírculo de $AKL$. Demuestre que el punto de intersección de $NM$ y $AI$ se encuentra en el circuncírculo de $ABC$ si y solo si el punto de intersección de $HB$ y $GC$ se encuentra en $\Gamma$.
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P2
2 Para $n=1,2,\dots$ sea \[S_n=\log\left(\sqrt[n^2]{1^1 \cdot 2^2 \cdot \dotsc \cdot n^n}\right)-\log(\sqrt{n}),\] donde $\log$ denota el logaritmo natural. Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n$.
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P6
6 Demuestre que para cualquier función $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$, existen $a,b,c \in \mathbb{Q}$ tales que $a<b<c$, $f(b) \ge f(a)$ y $f(b) \ge f(c)$.
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2024 Rioplatense Mathematical Olympiad 2024 P5
5 Sea $S = \{2, 3, 4, \dots\}$ el conjunto de los enteros positivos mayores que 1. Encuentre todas las funciones $f : S \to S$ que satisfacen \[ \text{gcd}(a, f(b)) \cdot \text{lcm}(f(a), b) = f(ab) \] para todo par de enteros $a, b \in S$. Aclaración: $\text{gcd}(a,b)$ es el máximo común divisor de $a$ y $b$, y $\text{lcm}(a,b)$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.
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2024 Rioplatense Mathematical Olympiad 2024 P6
6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$, y sea $H$ su ortocentro. Sean $D$, $E$, $F$ y $M$ los puntos medios de $BC$, $AC$, $AB$ y $AH$, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $AHD$, $BMC$ y $DEF$ pasan por un punto común.
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2024 Rioplatense Mathematical Olympiad 2024 P3
3 Sean $a$, $b$, $c$ enteros positivos. Demuestre que para infinitos enteros positivos impares $n$, existe un entero $m > n$ tal que $a^n + b^n + c^n$ divide a $a^m + b^m + c^m$.
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P3
3 ¿Para qué enteros positivos $n$ existe una matriz $A$ de $n \times n$ cuyas entradas están todas en $\{0,1\}$, tal que $A^2$ es la matriz de todos unos?
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P4
4 Sean $g$ y $h$ dos elementos distintos de un grupo $G$, y sea $n$ un entero positivo. Considere una sucesión $w=(w_1,w_2,\dots)$ que no es eventualmente periódica y donde cada $w_i$ es $g$ o $h$. Denotemos por $H$ al subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma $w_kw_{k+1}\dots w_{k+n-1}$ con $k \ge 1$. Demuestre que $H$ no depende de la elección de la sucesión $w$ (pero puede depender de $n$).
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P3
3 Sean $a,b \in \mathbb{R}$ con $a < b,$ dos números reales. Decimos que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tiene la propiedad $(P)$ si existe una función integrable en $[a,b]$ con la propiedad de que \[ f(x) - f \left( \frac{x + a}{2} \right) = f \left( \frac{x + b}{2} \right) - f(x) , \forall x \in [a,b]. \] Demuestre que para todo número real $t$ existe una única función $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad $(P),$ tal que $\int_{a}^{b} f(x) \text{dx} = t.$
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2022 Benelux Mathematical Olympiad P1
1 Sea $n\geqslant 0$ un entero, y sean $a_0,a_1,\dots,a_n$ números reales. Demuestre que existe $k\in\{0,1,\dots,n\}$ tal que $$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\leqslant a_0+a_1+\cdots+a_k$$ para todo número real $x\in[0,1]$.
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