10 Sea $S=\{0,1,2,\ldots,8\}$. ¿Cuántas funciones $f:S\rightarrow S$ satisfacen la siguiente condición: para todos $x,y,z\in S$, si $x+y-z$ es divisible por $9$, entonces $f(x)f(y)-f(f(z))$ también es divisible por $9$?

3 Sea ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ un círculo con centro ${O}$ y radio ${R}$ y sean ${A, B}$ dos puntos sobre él, que no pertenecen al mismo diámetro. La bisectriz del ángulo ${\angle{ABO}}$ interseca al círculo ${c}$ en el punto ${C}$ , a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOB$ , digamos ${c_1}$ , en el punto ${K}$ , y a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOC$ , digamos ${{c}_{2}}$ , en el punto ${L}$ . Demuestre que el punto ${K}$ pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOC$ y que el punto ${L}$ es el incentro del triángulo $AOB$ . Evangelos Psychas (Grecia)

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las perpendiculares trazadas desde el punto medio $M$ de $AB$ a las rectas $AC$ y $BC$ intersecan a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MC$ , demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

Halle todas las soluciones reales de la ecuación $(x^2-9x+19)^{x^2-3x+2} = 1$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ${AB\neq AC}$ . La circunferencia inscrita ${\omega}$ del triángulo toca a los lados ${BC, CA}$ y ${AB}$ en ${D, E}$ y ${F}$ , respectivamente. La recta perpendicular trazada en ${C}$ a ${BC}$ corta a ${EF}$ en ${M}$ , y análogamente la recta perpendicular trazada en ${B}$ a ${BC}$ corta a ${EF}$ en ${N}$ . La recta ${DM}$ corta nuevamente a ${\omega}$ en ${P}$ , y la recta ${DN}$ corta nuevamente a ${\omega}$ en ${Q}$ . Demuestre que ${DP=DQ}$ . Ruben Dario & Leo Giugiuc (Rumania)

3 Considere los puntos $1,\frac12,\frac13,...$ sobre el eje real. Halle el menor valor $k \in \mathbb{N}_0$ para el cual todos los puntos anteriores pueden cubrirse con 5 intervalos cerrados de longitud $\frac1k$ .

3 Demuestre que: \[\alpha = \pm \frac{\pi}{12} + k\cdot \frac{\pi}2 (k\in \mathbb{Z}) \Longleftrightarrow\ |{\tan \alpha}| + |{\cot \alpha}| = 4\]

C4 Sea $n\ge 1$ un entero positivo. Un cuadrado de lado $n$ está dividido por rectas paralelas a cada lado en $n^2$ cuadrados de lado $1$ . Halle el número de paralelogramos cuyos vértices están entre los vértices de los $n^2$ cuadrados de lado $1$ , con ambos lados menores o iguales que $2$ , y que tienen área igual a $2$ . (Grecia)

1 Dado el polinomio $P(x)=x^{1994}+a_{1993}x^{1993}+\dots+a_1x+1$, dos estudiantes juegan. El estudiante 1 reemplaza uno de los $a_i$ con un número diferente. Luego el estudiante 2 reemplaza uno de los $a_i$ restantes con un número diferente, y así sucesivamente hasta que todos los $a_i$ se usen. Si el polinomio restante no tiene raíces reales, gana el estudiante 2; de lo contrario, gana el estudiante 1. ¿Existe alguna posibilidad de que el estudiante 2 siempre gane?

6 Si $0\le a_1\le a_2\le\dots\le a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ son cualquier permutación de los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , entonces demuestra que \[\sum_{k=1}^n\dfrac{b_1+\dots+b_k}{k}\ge\dfrac{n^2}{2n-1}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{a_1+\dots+a_k}{k^3}\] .