Sea $S$ el conjunto de todos los números reales estrictamente mayores que −1. Hallar todas las funciones $ f: S \to S$ que satisfacen las dos condiciones:\n(a) $ f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x)$ para todo $ x, y$ en $ S$ ;\n(b) $ \frac {f(x)}{x}$ es estrictamente creciente en cada uno de los dos intervalos $ - 1 < x < 0$ y $ 0 < x$.

Hallar todos los pares ordenados $ (m,n)$ donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos tales que $ \frac {n^3 + 1}{mn - 1}$ es un entero.

Para cualquier entero positivo $k$, sea $f_k$ el número de elementos en el conjunto $\{k + 1, k + 2, \ldots, 2k\}$ cuya representación en base 2 contiene exactamente tres 1s.\n(a) Demostrar que para cualquier entero positivo $m$, existe al menos un entero positivo $k$ tal que $f(k) = m$.\n(b) Determinar todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe exactamente un $k$ con $f(k) = m$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. $M$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el punto en la recta $AM$ tal que $OB$ es perpendicular a $AB$. $Q$ es un punto arbitrario en $BC$ diferente de $B$ y $C$. $E$ está en la recta $AB$ y $F$ está en la recta $AC$ tales que $E, Q, F$ son distintos y colineales. Demostrar que $OQ$ es perpendicular a $EF$ si y sólo si $QE = QF$.

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos. Sean $a_1, a_2, \ldots, a_m$, $m$ números distintos del conjunto $\{1, 2,\ldots, n\}$ tales que para cualesquiera dos índices $i$ y $j$ con $1\leq i \leq j \leq m$ y $a_i + a_j \leq n$, existe un índice $k$ tal que $a_i + a_j = a_k$. Demostrar que\n\[ \frac {a_1 + a_2 + ... + a_m}{m} \geq \frac {n + 1}{2}.\n\]

Para un primo $ p$ y un entero dado $ n$ sea $ \nu_p(n)$ el exponente de $ p$ en la factorización prima de $ n!$ . Dado $ d \in \mathbb{N}$ y $ \{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ un conjunto de $ k$ primos, demuestre que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ d\mid \nu_{p_i}(n)$ para todo $ 1 \leq i \leq k$.

Sea $ n$ un entero positivo. Considera \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \}\n]\ncomo un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determina el número mínimo posible de planos, cuya unión contiene a $ S$ pero no incluye a $ (0,0,0)$ .

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Demuestra que si $4ab - 1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$ , entonces $a = b$ .

En el triángulo $ ABC$ la bisectriz del ángulo $ BCA$ interseca la circunferencia circunscrita nuevamente en $ R$ , la mediatriz de $ BC$ en $ P$ , y la mediatriz de $ AC$ en $ Q$ . El punto medio de $ BC$ es $ K$ y el punto medio de $ AC$ es $ L$ . Demuestra que los triángulos $ RPK$ y $ RQL$ tienen la misma área.

En una competición matemática, algunos competidores son amigos. La amistad siempre es mutua. Llama a un grupo de competidores una camarilla si cada dos de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo de menos de dos competidores es una camarilla.) El número de miembros de una camarilla se llama su tamaño. Dado que, en esta competición, el tamaño más grande de una camarilla es par, demuestra que los competidores se pueden organizar en dos habitaciones de tal manera que el tamaño más grande de una camarilla contenida en una habitación sea el mismo que el tamaño más grande de una camarilla contenida en la otra habitación.