Sea $ABCD$ un trapecio con $AD$ paralelo a $BC$ y sea $J$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Se elige un punto $P$ en el lado $BC$ tal que la distancia desde $C$ a la línea $AP$ es igual a la distancia desde $B$ a la línea $DP$. Las siguientes tres preguntas 1, 2 y 3 son independientes, de modo que una condición en una pregunta no se aplica en otra pregunta.\n\n1. Suponga que $Area( \vartriangle AJB) =6$ y que $Area(\vartriangle BJC) = 9$. Determine $Area(\vartriangle APD)$.\n\n2. Encuentre todos los puntos $Q$ en el plano del trapecio tales que $Area(\vartriangle AQB) = Area(\vartriangle DQC)$.\n\n3. Pruebe que $PJ$ es la bisectriz del ángulo $\angle APD$.

El círculo con el centro de $ O $ toca los lados del ángulo $ A $ en los puntos de $ K $ y $ M $ . La tangente al círculo interseca los segmentos $ AK $ y $ AM $ en los puntos $ B $ y $ C $ respectivamente, y la línea $ KM $ interseca los segmentos $ OB $ y $ OC $ en los puntos $ D $ y $ E $ . Demuestre que el área del triángulo $ ODE $ es igual a un cuarto del área de un triángulo $ BOC $ si y sólo si el ángulo $ A $ es $ 60^\circ $ .

Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

En las celdas de la tabla $ 100 \times100 $ se colocan en pares números diferentes. Cada minuto cada uno de los números cambia al mayor de los números en las celdas adyacentes en el lado. ¿Puede después de $4$ horas todos los números en la tabla ser iguales?

Demuestre que para todos $ x, y \in 0, 1 $ la desigualdad $ 5 (x^2+ y^2) ^2 \leq 4 + (x +y) ^4$ se cumple.

Una tabla rectangular con 2001 filas y 2002 columnas se divide en rectángulos de $1\times 2$. Se sabe que cualquier otra partición de la tabla en rectángulos de $1\times 2$ contiene un rectángulo perteneciente a la partición original. Demuestre que la partición original contiene dos columnas sucesivas cubiertas por 2001 rectángulos horizontales.

¿Existe un trinomio cuadrático con coeficientes enteros, tal que todos los valores que son naturales sean potencias naturales de dos?

Los puntos en los lados $ BC $ , $ CA $ y $ AB $ del triángulo $ ABC $ son respectivamente $ A_1 $ , $ B_1 $ y $ C_1 $ tales que $ AC_1: C_1B = BA_1: A_1C = CB_1: B_1A = 2: 1 $ . Demuestre que si el triángulo $ A_1B_1C_1 $ es equilátero, entonces el triángulo $ ABC $ también es equilátero.

Cada uno de los puntos $G$ y $H$ que se encuentran en lados diferentes del plano del hexágono $ABCDEF$ está conectado con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos?

Se da un número real $a$. La secuencia $n_{1}< n_{2}< n_{3}< ...$ consta de todos los $n$ enteros positivos tales que $\{na\}< \frac{1}{10}$ . Demuestre que hay como máximo tres números diferentes entre los números $n_{2}-n_{1}$ , $n_{3}-n_{2}$ , $n_{4}-n_{3}$ , $\ldots$ .