Dado que $(1+\sin t)(1+\cos t)=5/4$ y \[ (1-\sin t)(1-\cos t)=\frac mn-\sqrt{k}, \] donde $k, m$ y $n$ son enteros positivos con $m$ y $n$ primos relativos, encuentra $k+m+n.$

8 ¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y)$, con $y<x\le 100$, son ambos $\frac xy$ y $\frac{x+1}{y+1}$ enteros?

El triángulo $ABC$ es isósceles, con $AB=AC$ y altura $AM=11.$ Supón que hay un punto $D$ sobre $\overline{AM}$ con $AD=10$ y $\angle BDC=3\angle BAC.$ Entonces el perímetro de $\triangle ABC$ puede escribirse en la forma $a+\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros. Encuentra $a+b.$

10 ¿Cuál es el entero positivo más grande que no es la suma de un múltiplo entero positivo de 42 y un entero compuesto positivo?

11 Un prisma rectangular recto $P$ (es decir, un paralelepípedo rectangular) tiene lados de longitud entera $a, b, c,$ con $a\le b\le c.$ Un plano paralelo a una de las caras de $P$ corta a $P$ en dos prismas, uno de los cuales es semejante a $P,$ y ambos tienen volumen no nulo. Dado que $b=1995,$ ¿para cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ existe tal plano?

La pirámide $OABCD$ tiene base cuadrada $ABCD$, aristas congruentes $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}$ y $\overline{OD}$, y $\angle AOB=45^\circ.$ Sea $\theta$ la medida del ángulo diedro formado por las caras $OAB$ y $OBC.$ Dado que $\cos \theta=m+\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros, encuentra $m+n.$

13 Sea $f(n)$ el entero más cercano a $\sqrt[4]{n}.$ Encuentra $\sum_{k=1}^{1995}\frac 1{f(k)}.$

En un círculo de radio 42, dos cuerdas de longitud 78 se intersecan en un punto cuya distancia al centro es 18. Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de estas regiones están bordeadas por segmentos de longitudes desiguales, y el área de cualquiera de ellas puede expresarse de manera única en la forma $m\pi-n\sqrt{d},$ donde $m, n$ y $d$ son enteros positivos y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Encuentra $m+n+d.$

15 Sea $p$ la probabilidad de que, en el proceso de lanzar repetidamente una moneda justa, uno encuentre una racha de 5 caras antes de encontrar una racha de 2 cruces. Dado que $p$ se puede escribir en la forma $m/n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

La sucesión creciente $3, 15, 24, 48, \ldots$ está formada por aquellos múltiplos positivos de 3 que son uno menos que un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el residuo cuando el término 1994 de la sucesión se divide entre 1000?