Los números $12,14,37,65$ son una de las soluciones de la ecuación $xy-xz+yt=182$ . ¿Qué número corresponde a cada letra?

Demuestre que: (a) si $y<\frac12$ y $n\ge3$ es un número natural, entonces $(y+1)^n\ge y^n+(1+2y)^\frac n2$ ; (b) si $x,y,z$ y $n\ge3$ son números naturales para los cuales $x^2-1\le2y$ , entonces $x^n+y^n\ne z^n$ .

Se da un triángulo rectángulo $ABC$ y su circunferencia circunscrita $k$ . (a) demuestre que el radio de la circunferencia $k_1$ tangente a los catetos del triángulo y a la circunferencia $k$ es igual al diámetro de la circunferencia inscrita del triángulo ABC . (b) en la circunferencia $k$ se puede encontrar un punto $M$ para el cual la suma $MA+MB+MC$ sea lo más grande posible.

Fuera del plano del triángulo $ABC$ se da el punto $D$ . (a) demuestre que si el segmento $DA$ es perpendicular al plano $ABC$ , entonces la proyección ortogonal del ortocentro del triángulo $ABC$ sobre el plano $BCD$ coincide con el ortocentro del triángulo $BCD$ . (b) para todos los tetraedros $ABCD$ con base el triángulo $ABC$ en los que la altura desde el vértice $D$ es la menor de las cuatro alturas, halle el lugar geométrico del pie de esa altura.

Demuestre que la ecuación $$3x(x-3y)=y^2+z^2$$ no tiene ninguna solución entera excepto $x=0,y=0,z=0$ .

Demuestre que para cualesquiera cuatro números positivos $a,b,c,d$ es verdadera la siguiente desigualdad: $$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}4}\ge\sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}4}.$$

(a) En el plano del triángulo $ABC$ , halle un punto con la siguiente propiedad: sus puntos simétricos con respecto a los puntos medios de los lados del triángulo se encuentran sobre la circunferencia circunscrita. (b) Construya el triángulo $ABC$ si se conocen las posiciones del ortocentro $H$ , del punto medio del lado $AB$ y del punto medio del segmento que une los pies de las alturas trazadas por los vértices $A$ y $B$ .

Se da un tetraedro con vértices $A,B,C,D$ . (a) Demuestre que existe un vértice del tetraedro con la siguiente propiedad: las tres aristas del tetraedro que pasan por ese vértice pueden formar un triángulo. (b) Sobre las aristas $DA,DB$ y $DC$ se dan los puntos $M,N$ y $P$ para los cuales: $$DM=\frac{DA}n,\enspace DN=\frac{DB}{n+1}\enspace DP=\frac{DC}{n+2}$$ donde $n$ es un número natural. El plano determinado por los puntos $M,N$ y $P$ es $\alpha_n$ . Demuestre que todos los planos $\alpha_n$ , $(n=1,2,3,\ldots)$ pasan por una misma recta.

Los números $2,3,7$ tienen la propiedad de que el producto de cualesquiera dos de ellos aumentado en $1$ es divisible por el tercer número. Demuestre que esta terna de números enteros mayores que $1$ es la única terna con la propiedad dada.

Demuestre que la desigualdad: $$(1+\sin^2\alpha)^n+(1+\cos^2\alpha)^n\ge2\left(\frac32\right)^n$$ es verdadera para todo número natural $n$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?