Sea el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$ . Defina los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$ análogamente, usando los excírculos opuestos a $B$ y $C$ , respectivamente. Suponga que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Pruebe que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo con $AB=DE$ , $BC=EF$ , $CD=FA$ , y $\angle A-\angle D = \angle C -\angle F = \angle E -\angle B$ . Pruebe que las diagonales $AD$ , $BE$ , y $CF$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > \angle C$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos diferentes en la línea $AC$ tales que $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB $ y $A$ está ubicado entre $P$ y $C$ . Suponga que existe un punto interior $D$ del segmento $BQ$ para el cual $PD=PB$ . Sea el rayo $AD$ interseca al círculo $ABC$ en $R \neq A$ . Pruebe que $QB = QR$ .

En un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ los pies de las bisectrices de los ángulos $A$ y $B$, respectivamente. Un rombo está inscrito en el cuadrilátero $AEDB$ (todos los vértices del rombo se encuentran en diferentes lados de $AEDB$). Sea $\varphi$ el ángulo no obtuso del rombo. Demuestre que $\varphi \le \max \{ \angle BAC, \angle ABC \}$.

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Denotemos por $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, y denotemos por $T$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMT$ y $ANT$ intersecan las bisectrices perpendiculares de $AC$ y $AB$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente; asuma que $X$ e $Y$ se encuentran dentro del triángulo $ABC$. Las rectas $MN$ e $XY$ se intersecan en $K$. Demuestre que $KA=KT$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto en el lado $BC$, que se encuentra estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente. Denotemos por $\omega_1$ la circunferencia circunscrita de $BWN$, y sea $X$ el punto en $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, denotemos por $\omega_2$ la circunferencia circunscrita del triángulo $CWM$, y sea $Y$ el punto tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demuestre que $X,Y$ y $H$ son colineales.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan a un juego 'doloroso' en la recta real. El jugador $A$ tiene un bote de pintura con cuatro unidades de tinta negra. Una cantidad $p$ de esta tinta es suficiente para ennegrecer un intervalo real (cerrado) de longitud $p$. En cada ronda, el jugador $A$ elige algún entero positivo $m$ y proporciona $1/2^m$ unidades de tinta del bote. El jugador $B$ entonces elige un entero $k$ y ennegrece el intervalo desde $k/2^m$ hasta $(k+1)/2^m$ (algunas partes de este intervalo pueden haber sido ennegrecidas antes). El objetivo del jugador $A$ es alcanzar una situación donde el bote está vacío y el intervalo $[0,1]$ no está completamente ennegrecido. Decide si existe una estrategia para que el jugador $A$ gane en un número finito de movimientos.

Sea $n \ge 3$ un entero, y considere un círculo con $n + 1$ puntos marcados en él a igual distancia. Considere todas las etiquetas de estos puntos con los números $0, 1, ... , n$ tal que cada etiqueta se utiliza exactamente una vez; dos de tales etiquetados se consideran iguales si uno se puede obtener del otro mediante una rotación del círculo. Un etiquetado se llama hermoso si, para cualquier cuatro etiquetas $a < b < c < d$ con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no se interseca con la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de etiquetados hermosos, y sea N el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x + y \le n$ y $\gcd(x, y) = 1$. Demostrar que $$M = N + 1.$$

En algún país, varios pares de ciudades están conectados por vuelos directos de dos vías. Es posible ir de cualquier ciudad a cualquier otra mediante una secuencia de vuelos. La distancia entre dos ciudades se define como el menor número posible de vuelos necesarios para ir de una a otra. Se sabe que para cualquier ciudad hay como máximo $100$ ciudades a una distancia exactamente tres de ella. Demostrar que no hay ninguna ciudad tal que más de $2550$ otras ciudades tengan una distancia exactamente cuatro de ella.

Sea $r$ un entero positivo, y sean $a_0 , a_1 , \cdots $ una sucesión infinita de números reales. Supongamos que para todos los enteros no negativos $m$ y $s$ existe un entero positivo $n \in [m+1, m+r]$ tal que \[ a_m + a_{m+1} +\cdots +a_{m+s} = a_n + a_{n+1} +\cdots +a_{n+s} ] Demostrar que la sucesión es periódica, i.e. existe algún $p \ge 1 $ tal que $a_{n+p} =a_n $ para todo $n \ge 0$.