2 Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n,$ sea $d_p (n) \in \{ 0,1, \dots, p-1 \}$ el resto cuando $n$ se divide por $p.$ Decimos que $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ es una p-sucesión , si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p,$ y $a_{n+1} =a_n + d_p (a_n)$ para $n \geqslant 0.$ (a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_n >b_n$ para infinitos $n,$ y $b_n > a_n$ para infinitos $n?$ (b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_0 <b_0,$ pero $a_n >b_n$ para todo $n \geqslant 1?$ Reino Unido

1 Sea $p>10$ un primo. Demuestre que existen enteros positivos $m,n$ con $m+n<p$ tales que $p$ divide a $5^m7^n -1$

6 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto formado por $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divida a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denótese por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ respecto a las rectas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí. $\emph{Slovakia}$

2 Decimos que un conjunto $S$ de enteros es rootiful si, para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera $a_0, a_1, \cdots, a_n \in S$ , todas las raíces enteras del polinomio $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ están también en $S$ . Halle todos los conjuntos rootiful de enteros que contienen todos los números de la forma $2^a - 2^b$ para enteros positivos $a$ y $b$ .

3 Sean $x_1, x_2, \dots, x_n$ números reales distintos. Demuestre que \[\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { if } n \text { is even; } \\ 1, & \text { if } n \text { is odd. } \end{array}\right.\] y-is-the-best-_

4 Sea $\mathcal L$ el conjunto de todas las rectas del plano y sea $f$ una función que asigna a cada recta $\ell\in\mathcal L$ un punto $f(\ell)$ sobre $\ell$ . Suponga que para cualquier punto $X$ , y para cualesquiera tres rectas $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ que pasan por $X$ , los puntos $f(\ell_1),f(\ell_2),f(\ell_3)$ y $X$ se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que existe un único punto $P$ tal que $f(\ell)=P$ para cualquier recta $\ell$ que pase por $P$ . Australia

1 Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Sea $D$ un punto del lado $BC$ . La tangente a $\Gamma$ en $A$ interseca a la recta paralela a $BA$ que pasa por $D$ en el punto $E$ . El segmento $CE$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $F$ . Suponga que $B$ , $D$ , $F$ , $E$ son concíclicos. Demuestre que $AC$ , $BF$ , $DE$ son concurrentes.

2 Demuestre que $r = 2$ es el mayor número real $r$ que satisface la siguiente condición: si una sucesión $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ de enteros positivos cumple las desigualdades \[a_n \leq a_{n+2} \leq\sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}\] para todo entero positivo $n$ , entonces existe un entero positivo $M$ tal que $a_{n+2} = a_n$ para todo $n \geq M$ .

3 Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen un entero positivo $m$ y un conjunto $S$ de enteros positivos tales que cualquier entero $n > m$ puede escribirse como suma de elementos distintos de $S$ de exactamente $k$ maneras.