Sea $n$ un entero positivo, y sea $A$ un subconjunto de $\{ 1,\cdots ,n\}$. Una $A$ - partición de $n$ en $k$ partes es una representación de n como una suma $n = a_1 + \cdots + a_k$, donde las partes $a_1 , \cdots , a_k $ pertenecen a $A$ y no son necesariamente distintas. El número de partes diferentes en tal partición es el número de elementos (distintos) en el conjunto $\{ a_1 , a_2 , \cdots , a_k \}$. Decimos que una $A$ - partición de $n$ en $k$ partes es óptima si no hay $A$ - partición de $n$ en $r$ partes con $r<k$. Demostrar que cualquier $A$ - partición óptima de $n$ contiene como máximo $\sqrt[3]{6n}$ partes diferentes.

Un físico loco descubrió un nuevo tipo de partícula a la que llamó imon, después de que algunos de ellos aparecieran misteriosamente en su laboratorio. Algunos pares de imones en el laboratorio pueden estar entrelazados, y cada imon puede participar en muchas relaciones de entrelazamiento. El físico ha encontrado una forma de realizar los siguientes dos tipos de operaciones con estas partículas, una operación a la vez.\n(i) Si algún imon está entrelazado con un número impar de otros imones en el laboratorio, entonces el físico puede destruirlo.\n(ii) En cualquier momento, puede duplicar toda la familia de imones en el laboratorio creando una copia $I'$ de cada imon $I$. Durante este procedimiento, las dos copias $I'$ y $J'$ se entrelazan si y sólo si los imones originales $I$ y $J$ están entrelazados, y cada copia $I'$ se entrelaza con su imon original $I$; no ocurren ni desaparecen otros entrelazamientos en este momento.\nDemostrar que el físico puede aplicar una secuencia de tales operaciones que resulten en una familia de imones, de los cuales ninguno está entrelazado.

Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama Colombiana si consiste en $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no tres de los puntos de la configuración son colineales. Dibujando algunas líneas, el plano se divide en varias regiones. Un arreglo de líneas es bueno para una configuración Colombiana si las siguientes dos condiciones se satisfacen: i) Ninguna línea pasa a través de ningún punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Encuentra el valor mínimo de $k$ tal que para cualquier configuración Colombiana de $4027$ puntos, hay un buen arreglo de $k$ líneas.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el entero más pequeño $k$ con la siguiente propiedad; Dados cualquier número real $a_1 , \cdots , a_d $ tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$ y $0 \le a_i \le 1$ para $i=1,2,\cdots ,d$ , es posible particionar estos números en $k$ grupos (algunos de los cuales pueden estar vacíos) tal que la suma de los números en cada grupo es a lo sumo $1$ .

Sea $m \neq 0 $ un entero. Encuentra todos los polinomios $P(x) $ con coeficientes reales tales que \[ (x^3 - mx^2 +1 ) P(x+1) + (x^3+mx^2+1) P(x-1) =2(x^3 - mx +1 ) P(x) \] para todo número real $x$ .

Sea $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ el conjunto de todos los enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0} $ que satisfacen la relación \[ f(f(f(n))) = f(n+1 ) +1 \] para todo $ n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ .

Sea $n$ un entero positivo, y considera una sucesión $a_1 , a_2 , \dotsc , a_n$ de enteros positivos. Extiéndela periódicamente a una sucesión infinita $a_1 , a_2 , \dotsc$ definiendo $a_{n+i} = a_i$ para todo $i \ge 1$. Si \[a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le a_1 +n \] y \[a_{a_i } \le n+i-1 \quad\text{para}\quad i=1,2,\dotsc, n, \] demuestra que \[a_1 + \dots +a_n \le n^2. \]

Sea $\mathbb Q_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Sea $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R$ una función que satisface las siguientes tres condiciones: (i) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x)f(y)\geq f(xy)$ ; (ii) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ ; (iii) existe un número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$. Demuestra que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb Q_{>0}$.

Demuestra que en cualquier conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a>b$ y $c>d$ con $a \neq c$ o $b \neq d$, tales que \[ \left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right|< \frac{1}{100000}. \]

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, \ldots, a_{n-1}$ números reales arbitrarios. Define las sucesiones $u_0, \ldots, u_n$ y $v_0, \ldots, v_n$ inductivamente por $u_0 = u_1 = v_0 = v_1 = 1$, y $u_{k+1} = u_k + a_k u_{k-1}$, $v_{k+1} = v_k + a_{n-k} v_{k-1}$ para $k=1, \ldots, n-1.$ Demuestra que $u_n = v_n.$