11 Sea $S$ un conjunto finito con $n$ $(n>1)$ elementos, $M$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ y una función $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, que verifica la relación $f(A\cap B)=\min\{f(A),f(B)\}, \forall A,B\in M$. Demuestre que $$\sum_{A\in M} (-1)^{n-|A|}\cdot f(A)=f(S)-\max\{f(A)|A\in M, A\neq S\},$$ donde $|A|$ es el número de elementos del subconjunto $A$.

12 Demuestre que $n!\cdot(n+1)!\cdot(n+2)!$ divide a $(3n)!$ para todo entero $n \geq 3$.

9 La sucesión $x_{n}$ está definida por: $x_{0}=1, x_{1}=0, x_{2}=1,x_{3}=1, x_{n+3}=\frac{(n^2+n+1)(n+1)}{n}x_{n+2}+(n^2+n+1)x_{n+1}-\frac{n+1}{n}x_{n} (n=1,2,3..)$ Demuestre que todos los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

9 Sea $ n\geq 3 $ un entero y sean $ x_1,x_2,\ldots,x_{n-1} $ enteros no negativos tales que \begin{eqnarray*} \ x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} &=& n \\ x_1 + 2x_2 + \cdots + (n-1)x_{n-1} &=& 2n-2. \end{eqnarray*} Encuentre el valor mínimo de $ F(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{k=1}^{n-1} k(2n-k)x_k $ . Valentin

10 Sea un hexágono regular con longitud de lado $1$. Encuentre el mayor entero $n\geq2$ para el cual existen $n$ puntos dentro o sobre los lados del hexágono tales que la distancia entre cada par de puntos no es menor que $\sqrt{2}$.

10 Sea $P(x)$ el producto de todos los dígitos (decimales) de un número natural $x$. Para cualquier entero positivo $x_1$, defina la sucesión $(x_n)$ recursivamente mediante $x_{n+1} = x_n + P(x_n)$. Demuestre o refute que la sucesión $(x_n)$ es necesariamente acotada.

11 Sea $P(X)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $\{P(n)\}\leq\frac{1}{n}, \forall n\in\mathbb{N}$, donde $\{a\}$ es la parte fraccionaria del número $a$. Demuestre que $P(n)\in\mathbb{Z}, \forall n\in\mathbb{N}$.

9 Para cada conjunto no vacío $M$ de enteros, denotamos $S(M)$ como la suma de todos sus elementos. Sea $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{11}\}$ un conjunto de enteros positivos con las siguientes propiedades: 1) $a_1<a_2<\ldots<a_{11};$ 2) para cada entero positivo $n\leq 1500$ existe un subconjunto $M$ de $A$ tal que $S(M)=n.$ Encuentre el menor valor posible de $a_{10}.$

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

7 Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. Para cualquier punto $ P$ situado dentro del triángulo, sean $ D$ , $ E$ , $ F$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ hacia los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CA$ respectivamente. Determine el conjunto de todas las posiciones posibles del punto $ P$ para las cuales el triángulo $ DEF$ es isósceles. ¿Para qué posición de $ P$ el triángulo $ DEF$ se vuelve equilátero?