9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

59 Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo, y $\alpha, \beta, \gamma$ respectivamente, los ángulos opuestos a dichos lados. Demuestre que si \[ a+b=\tan{\frac{\gamma}{2}}(a\tan{\alpha}+b\tan{\beta}) \] el triángulo es isósceles.

62 Resuelva el sistema de ecuaciones \[ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1 \] \[ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1 \] \[ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4=1 \] \[ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3=1 \] donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son cuatro números reales distintos.

51 Considere $n$ estudiantes con los números $1, 2, \ldots, n$ colocados en el orden $1, 2, \ldots, n.$ Ante una orden, cualquiera de los estudiantes permanece en su lugar o intercambia su lugar con otro estudiante. (En realidad, si el estudiante $A$ intercambia su lugar con el estudiante $B,$ entonces $B$ no puede intercambiar su lugar con ningún otro estudiante $C$ hasta que llegue la siguiente orden.) ¿Es posible organizar a los estudiantes en el orden $n, 1, 2, \ldots, n-1$ después de dos órdenes?

53 Demuestre que en todo hexágono convexo de área $S$ se puede trazar una diagonal que corta un triángulo de área no mayor a $\frac{1}{6}S.$ Amir

61 Demuestre que para todo número natural $n$ y para todo número real $x \neq \frac{k\pi}{2^t}$ ($t=0,1, \dots, n$; $k$ cualquier entero) \[ \frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+\dots+\frac{1}{\sin{2^nx}}=\cot{x}-\cot{2^nx} \]

10 Un polígono convexo $A_1A_2\ldots A_n$ se denomina $equilibrado$ si existe un punto $M$ en su interior tal que las semirrectas $A_iM$ (para $i=1,2,\ldots,n$) intersecan lados distintos del polígono. a) Demuestre que si $n>3$ es par, entonces todo polígono de $n$ lados no es equilibrado. b) ¿Existen polígonos con un número impar de lados que no sean equilibrados?

12 Demuestre que $n!\cdot(n+1)!\cdot(n+2)!$ divide a $(3n)!$ para todo entero $n \geq 3$.

10 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero $m$ tal que ${2^{n}-1}$ es un divisor de ${m^{2}+9}$.

11 Sea $P(X)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $\{P(n)\}\leq\frac{1}{n}, \forall n\in\mathbb{N}$, donde $\{a\}$ es la parte fraccionaria del número $a$. Demuestre que $P(n)\in\mathbb{Z}, \forall n\in\mathbb{N}$.