9 Demuestre que para un triángulo con radios de circunferencia circunscrita e inscrita iguales a $R$ y $r$ respectivamente, se cumple la desigualdad $R \geq 2r$.

13 Sea $a$ un entero positivo. La sucesión $\{x_n\}_{n\geq 1}$ está definida por $x_1=1$, $x_2=a$ y $x_{n+2} = ax_{n+1} + x_n$ para todo $n\geq 1$. Demuestre que $(y,x)$ es una solución de la ecuación \[ |y^2 - axy - x^2 | = 1 \] si y solo si existe un rango $k$ tal que $(y,x)=(x_{k+1},x_k)$. Serban Buzeteanu Valentin

11 En el plano cartesiano se da un polígono $P$ cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Demuestre que si la longitud de cada lado de $P$ es un entero impar, entonces la superficie de $P$ no puede ser particionada en rectángulos de $2\times 1$.

37 Demuestre que las cuatro perpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cíclico hacia los lados opuestos respectivos son concurrentes. Nota de Darij: Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo.

13 Sea $n\geq 3$ y $A_1,A_2,\ldots,A_n$ puntos en un círculo. Encuentre el mayor número de triángulos acutángulos que pueden considerarse con vértices en estos puntos. G. Eckstein Valentin

39 Considere un círculo con centro $O$ y radio $R,$ y sean $A$ y $B$ dos puntos en el plano de este círculo. a.) Dibuje una cuerda $CD$ del círculo tal que $CD$ sea paralela a $AB,$ y el punto de intersección $P$ de las rectas $AC$ y $BD$ se encuentre sobre el círculo. b.) Demuestre que, por lo general, se obtienen dos puntos posibles $P$ ($P_{1}$ y $P_{2}$) que satisfacen la condición del problema anterior, y calcule la distancia entre estos dos puntos, si se dan las longitudes $OA=a,$ $OB=b$ y $AB=d.$

44 ¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que pueden colocarse dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1 \ ?$ Amir

38 Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determine el mayor número posible de círculos que son tangentes a ambos círculos y que no se intersecan entre sí. Demuestre que este número se encuentra entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$ Amir

63 Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en el interior de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de este triángulo. Demuestre que el área de al menos uno de los tres triángulos $ AQR$ , $ BRP$ , $ CPQ$ es menor o igual a un cuarto del área del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en los segmentos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Demuestre que $ \min\left\{\left|AQR\right|,\left|BRP\right|,\left|CPQ\right|\right\}\leq\frac14\cdot\left|ABC\right|$ , donde la abreviatura $ \left|P_1P_2P_3\right|$ denota el área (no dirigida) de un triángulo arbitrario $ P_1P_2P_3$ .

10 Sea $ p > 2$ un número primo. Encuentre el menor número positivo $ a$ que puede representarse como \[ a = (X - 1)f(X) + (X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1)g(X), \] donde $ f(X)$ y $ g(X)$ son polinomios con coeficientes enteros. Mircea Becheanu . Valentin