Una caja cuya forma es un paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1.$ Si ponemos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determine las posibles dimensiones de la caja.

Sea $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestra que para cualquier entero positivo n, las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$. Determine todos los valores posibles que puede tener la otra diagonal.

¿Existen enteros $a$ y $b$ tales que ninguno de los números $a,a+1,\ldots,a+2023,b,b+1,\ldots,b+2023$ divide a ninguno de los $4047$ otros números, pero $a(a+1)(a+2)\cdots(a+2023)$ divide a $b(b+1)\cdots(b+2023)$ ?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\measuredangle ABC > 90^\circ$ , $\measuredangle CDA > 90^\circ$ y $\measuredangle DAB = \measuredangle BCD$ . Sean $E$ , $F$ y $G$ las reflexiones de $A$ con respecto a las líneas $BC$ , $CD$ y $DB$ . Finalmente, sea la línea $BD$ la que se cruza con el segmento de línea $AE$ en un punto $K$ , y el segmento de línea $AF$ en un punto $L$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí en $G$ .

Sea $k$ un entero positivo. Rico McPato posee $k$ monedas de oro. También posee infinitas cajas $B_1, B_2, B_3, \ldots$ Inicialmente, la caja $B_1$ contiene una moneda, y las $k-1$ monedas restantes están en la mesa de McPato, fuera de cada caja. Entonces, Rico McPato se permite hacer el siguiente tipo de operaciones, tantas veces como quiera: - si dos cajas consecutivas $B_i$ y $B_{i+1}$ contienen ambas una moneda, McPato puede quitar la moneda contenida en la caja $B_{i+1}$ y ponerla en su mesa; - si una caja $B_i$ contiene una moneda, la caja $B_{i+1}$ está vacía, y McPato todavía tiene al menos una moneda en su mesa, puede tomar tal moneda y ponerla en la caja $B_{i+1}$ . Como función de $k$ , ¿cuáles son los enteros $n$ para los cuales Rico McPato puede poner una moneda en la caja $B_n$ ?

Sea $P(X) = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0$ un polinomio con coeficientes reales tal que $0 \leqslant a_i \leqslant a_0$ para $i = 1, 2, \ldots, n$ . Demuestra que, si $P(X)^2 = b_{2n} X^{2n} + b_{2n-1} X^{2n-1} + \cdots + b_{n+1} X^{n+1} + \cdots + b_1 X + b_0$ , entonces $4 b_{n+1} \leqslant P(1)^2$ .

Encuentra todos los enteros $n \geqslant 0$ tales que $20n+2$ divide a $2023n+210$ .

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos círculos con centros $O$ y $O'$ , tales que $O$ pertenece a $\Gamma'$ . Sea $M$ un punto en $\Gamma'$ , fuera de $\Gamma$ . Las tangentes a $\Gamma$ que pasan por $M$ tocan $\Gamma$ en dos puntos $A$ y $B$ , y cruzan $\Gamma'$ de nuevo en dos puntos $C$ y $D$ . Finalmente, sea $E$ el punto de cruce de las líneas $AB$ y $CD$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CEO'$ y $DEO'$ son tangentes a $\Gamma'$ .

En su pizarra, Alicia ha escrito $n$ enteros estrictamente mayores que $1$ . Entonces, ella puede, tan a menudo como quiera, borrar dos números $a$ y $b$ tales que $a \neq b$ , y reemplazarlos con $q$ y $q^2$ , donde $q$ es el producto de los factores primos de $ab$ (cada factor primo se cuenta solo una vez). Por ejemplo, si Alicia borra los números $4$ y $6$ , los factores primos de $ab = 2^3 \times 3$ son $2$ y $3$ , y Alicia escribe $q = 6$ y $q^2 =36$ . Demuestra que, después de un tiempo, y sea cual sea la estrategia de Alicia, la lista de números escritos en la pizarra nunca cambiará más. Nota: El orden de los números de la lista no es importante.