Halle todos los números naturales $a>1$ con la propiedad de que todo divisor primo de $a^6-1$ divida también al menos a uno de los números $a^3-1$ , $a^2-1$ . K. Dochev

Dos ciclistas recorrieron la distancia de $A$ a $B$ , que es de $100$ km, a una velocidad de $30$ km/h, y se sabe que el primero partió $30$ minutos antes que el segundo. $20$ minutos después de la salida del primer ciclista desde $A$ , partió un coche de control cuya velocidad es de $90$ km/h, y se sabe que el coche alcanzó al primer ciclista y condujo junto a él durante $10$ minutos, regresó hacia el segundo y condujo durante $10$ minutos con él, y después el coche partió de nuevo hacia el primer ciclista a una velocidad de $90$ km/h, y así sucesivamente hasta el final del recorrido. ¿Cuántas veces conducirá el coche junto con el primer ciclista? K. Dochev

En un tablero de ajedrez (con $64$ casillas) están situados $32$ peones blancos y $32$ peones negros. Decimos que dos peones forman un par mixto cuando son de colores diferentes y se encuentran en la misma fila o columna. Halle el máximo y el mínimo de pares mixtos para todas las disposiciones posibles de los peones. K. Dochev

Demuestre que para $n\ge5$ el lado del $n$ -ágono regular inscriptible es mayor que el lado del $n+1$ -ágono regular circunscrito alrededor de la misma circunferencia, y que si $n\le4$ es verdadera la afirmación contraria.

En el espacio se dan los puntos $A,B,C$ y una esfera con centro $O$ y radio $1$ . Halle el punto $X$ de la esfera para el cual la suma $f(X)=|XA|^2+|XB|^2+|XC|^2$ alcanza su valor máximo y su valor mínimo. Demuestre que si los segmentos $OA,OB,OC$ son perpendiculares dos a dos y $d$ es la distancia desde el centro $O$ al baricentro del triángulo $ABC$ , entonces: (a) el máximo de $f(X)$ es igual a $9d^2+3+6d$ ; (b) el mínimo de $f(X)$ es igual a $9d^2+3-6d$ . K. Dochev e I. Dimovski

Demuestre que si la suma de $x^5,y^5$ y $z^5$ , donde $x,y$ y $z$ son números enteros, es divisible por $25$ , entonces la suma de algunos dos de ellos es divisible por $25$ .

Demuestre que $$S_n=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\ldots+\frac1{n^2}<2$$ para todo $n\in\mathbb N$ .

2006.3 El punto $E$ es el punto medio del lado $CD$ del cuadrado $ABCD$. Denota dentro del cuadrado un punto $M$, tal que $\angle MAB= \angle MBC= \angle BME=x$. Encuentra la medida del ángulo $x$.

Algunos de los puntos del plano son blancos y algunos son azules (todo punto del plano es blanco o azul). Demuestre que para todo número positivo $r$ : (a) existen al menos dos puntos de colores diferentes tales que la distancia entre ellos es igual a $r$ ; (b) existen al menos dos puntos del mismo color cuya distancia entre ellos es igual a $r$ ; (c) ¿serán verdaderas las afirmaciones anteriores si el plano se reemplaza por la recta real?

Halle los lados de un triángulo si se sabe que la circunferencia inscrita corta a una de sus medianas en dos puntos, estos puntos dividen la mediana en tres segmentos iguales y el área del triángulo es igual a $6\sqrt{14}\text{ cm}^2$ .