1 Si $x$ e $y$ son números reales no negativos tales que $x+y=1$ , determine los valores mínimo y máximo de $$A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$$

2 En una circunferencia de radio $10$ , el punto $M$ está sobre la cuerda $PQ$ tal que $PM=5$ y $MQ=10$ . Por el punto $M$ trazamos las cuerdas $AB$ y $CD$ , y los puntos $X$ e $Y$ son los puntos de intersección de las cuerdas $AD$ y $BC$ con la cuerda $PQ$ (ver figura), respectivamente. Si $XM=3$ , halle $MY$ https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvYy9kLzBiMmFmM2ViOGVmOTlmZDA5NGY2ZWY4MjM1YWI0ZDZjNjJlNzA1LnBuZw==&rn=Z2VvbWV0cmlqYS5wbmc=

3 Halle todos los enteros $a$ tales que $\sqrt{\frac{9a+4}{a-6}}$ es un número racional

4 Problema 4 para el grado

1 Sean $a$ y $b$ números reales del intervalo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Demuestre que $$\sin^6 {a}+3\sin^2 {a}\cos^2 {b}+\cos^6 {b}=1$$ si y solo si $a=b$

2 Halle todos los enteros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ tales que $$a^2+5b^2-2c^2-2cd-3d^2=0$$

3 Un cuadrilátero convexo está dividido por sus diagonales en cuatro triángulos con circunferencias inscritas congruentes. Demuestre que este cuadrilátero es un rombo.

4 Si $A=\{1,2,...,4s-1,4s\}$ y $S \subseteq A$ tal que $\mid S \mid =2s+2$ , demuestre que en $S$ podemos encontrar tres números distintos $x$ , $y$ y $z$ tales que $x+y=2z$

1 Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales no negativos tales que $a^2+b^2+c^2=1$ , demuestre que $$\frac{1}{2} \leq \frac{a}{1+a^4}+\frac{b}{1+b^4}+\frac{c}{1+c^4} \leq \frac{9\sqrt{3}}{10}$$

1 Halle todos los valores posibles de $$\frac{1}{a}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{1}{b}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c+a}\right)+\frac{1}{c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}\right)-\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales positivos tales que $ab+bc+ca=abc$