Para cada entero positivo $n$ , el Banco de Ciudad del Cabo emite monedas de denominación $\frac1n$ . Dada una colección finita de tales monedas (de denominaciones no necesariamente diferentes) con un valor total a lo sumo $99+\frac12$ , demuestre que es posible dividir esta colección en $100$ o menos grupos, de modo que cada grupo tenga un valor total a lo sumo $1$ .

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros positivos tales que \[\sqrt[3]{7x^2-13xy+7y^2}=|x-y|+1.\]

Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $A_n$ el conjunto \[A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}.\] Determine el entero positivo más grande que no se puede escribir como la suma de uno o más (no necesariamente distintos) elementos de $A_n$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ e incentro $I$. Sea la línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $CI$ que interseca el segmento $BC$ y el arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) de $\Omega$ en los puntos $U$ y $V$, respectivamente. Sea la línea que pasa por $U$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AV$ en $X$, y sea la línea que pasa por $V$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AB$ en $Y$. Sean $W$ y $Z$ los puntos medios de $AX$ y $BC$, respectivamente. Demuestra que si los puntos $I, X,$ e $Y$ son colineales, entonces los puntos $I, W ,$ y $Z$ también son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo fijo. Considera algunos puntos $E$ y $F$ que se encuentran en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$. Sea la bisectriz perpendicular de $EF$ que interseca la línea $BC$ en $K$, y sea la bisectriz perpendicular de $MK$ que interseca las líneas $AC$ y $AB$ en $S$ y $T$, respectivamente. Llamamos al par $(E, F )$ $\textit{interesante}$ , si el cuadrilátero $KSAT$ es cíclico. Supongamos que los pares $(E_1 , F_1 )$ y $(E_2 , F_2 )$ son interesantes. Demuestra que $\displaystyle\frac{E_1 E_2}{AB}=\frac{F_1 F_2}{AC}$

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$. Los puntos $S$ y $T$ se encuentran en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, tales que $H$ se encuentra dentro del triángulo $SCT$ y\n\[\n\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}.\n\]\nDemuestra que la línea $BD$ es tangente al circuncírculo del triángulo $TSH$.

Considera un círculo fijo $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ en él. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$. Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ en $\Gamma$, sea $M$ el punto en el segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $AMP$ y $BMC$. Demuestra que cuando $P$ varía, el punto $Q$ se encuentra en un círculo fijo.

Sean $\Omega$ y $O$ el circuncírculo y el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > BC$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $\Omega$ en $M \ne B$. Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $BM$. Las bisectrices de los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ intersecan a $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. El punto $R$ se elige en la línea $P Q$ de modo que $BR = MR$. Demuestra que $BR\parallel AC$. (Aquí siempre asumimos que una bisectriz de un ángulo es un rayo.)

Sea $ABC$ un triángulo. Los puntos $K, L,$ y $M$ se encuentran en los segmentos $BC, CA,$ y $AB,$ respectivamente, tales que las líneas $AK, BL,$ y $CM$ se intersecan en un punto común. Demuestre que es posible elegir dos de los triángulos $ALM, BMK,$ y $CKL$ cuyas inradios suman al menos el inradio del triángulo $ABC$ .

Sean $P$ y $Q$ en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestre que la intersección de $BM$ y $CN$ está en la circunferencia del triángulo $ABC$ .