7 Demuestre que no existe ningún primo $p$ tal que toda potencia de $p$ sea un palíndromo (un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; en particular, un número que termina en uno o más ceros no puede ser un palíndromo).

Alice tiene un entero $N > 1$ en el pizarrón. Cada minuto, borra el número actual $x$ del pizarrón y escribe $2x+1$ si $x$ no es el cubo de un entero, o la raíz cúbica de $x$ en caso contrario. Demuestre que en algún momento escribe un número mayor que $10^{100}$ . Propuesto por Anant Mudgal y Rohan Goyal

Sea $N \geqslant 3$ un entero. En el país de Sibyl, hay $N^2$ ciudades dispuestas como los vértices de una cuadrícula de $N \times N$ , y cada par de ciudades correspondiente a un par de vértices adyacentes de la cuadrícula está conectado por una carretera. A varios drones automatizados se les da la instrucción de recorrer un camino rectangular que comienza y termina en la misma ciudad, siguiendo las carreteras del país. Resultó que cada carretera fue recorrida al menos una vez por algún dron. Determine el número mínimo de drones que deben estar operando. Propuesto por Sutanay Bhattacharya y Anant Mudgal

Sean $f, g$ funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x,y$ , $$f(g(x) + y) = g(x + y)$$ Demuestre que o bien $f$ es la función identidad o bien $g$ es periódica. Propuesto por Pranjal Srivastava

Para $n \geq 3$ , un n-triángulo especial es un triángulo con $n$ números distintos en cada lado tal que la suma de los números de un lado es la misma para todos los lados. Por ejemplo, como $41 + 23 + 43 = 43 + 17 + 47 = 47 + 19 + 41$ , el siguiente es un $3$ - triángulo especial: $$41$$ $$23\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }19$$ $$43\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }17\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }47$$ Nótese que un $n$ - triángulo especial contiene $3(n - 1)$ números. Un conjunto infinito $A$ de enteros positivos es un conjunto especial si, para cada $n \geq 3$ , los $3(n - 1)$ números más pequeños de $A$ pueden usarse para formar un $n$ - triángulo especial. Demuestre que el conjunto de los enteros positivos que no son múltiplos de $2023$ es un conjunto especial. leannan-capall

Considere una función integrable $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $af(a)+bf(b)=0$ cuando $ab=1$ . Halle el valor de la siguiente integral: $$ \int_{0}^{\infty} f(x) \,dx $$

Sean $A, B, C, D, E$ cinco puntos sobre una circunferencia tales que $|AB| = |CD|$ y $|BC| = |DE|$ . Los segmentos $AD$ y $BE$ se intersecan en $F$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $CD$ . Demuestre que la circunferencia de centro $M$ y radio $ME$ pasa por el punto medio del segmento $AF$ . leannan-capall

Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad de que $$f(x)f(y) = (xy - 1)^2f\left(\frac{x + y - 1}{xy - 1}\right)$$ para todos los números reales $x, y$ con $xy \neq 1$ . leannan-capall

Un entero positivo es totalmente cuadrado si la suma de sus cifras (escritas en base $10$ ) es un número cuadrado. Por ejemplo, $13$ es totalmente cuadrado porque $1 + 3 = 2^2$ , pero $16$ no es totalmente cuadrado. Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no son la suma de dos enteros totalmente cuadrados. leannan-capall

Caitlin y Donal juegan un juego llamado Basketball Shoot-Out . El juego consta de $10$ rondas. En cada ronda, Caitlin y Donal lanzan una pelota simultáneamente hacia la canasta del otro. Si la pelota de un jugador cae en la canasta, ese jugador anota un punto; de lo contrario, anota cero puntos. El marcador muestra la sucesión completa de puntos anotados por cada jugador en cada una de las $10$ rondas del juego. Resulta que Caitlin ha anotado en total al menos tantos puntos como Donal después de cada ronda del juego. Demuestre que el número de marcadores posibles es divisible por $4$ pero no por $8$ . leannan-capall