Demuestra que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, la siguiente desigualdad se cumple\n$\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$\nDetermina todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales la igualdad se cumple.

Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ son ambos potencias de $5$.

Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos es mayor que su doble. Encontrar un número abundante impar y demostrar que hay infinitos números abundantes impares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Encontrar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos que tienen sus vértices en los lados de $ABC$ .

En el planeta Marte hay $100$ estados que están en disputa. Para lograr una situación de paz, se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones: (1) Cada bloque debe tener como máximo $50$ estados. (2) Cada par de estados debe estar junto en al menos un bloque. Encontrar el número mínimo de bloques que deben formarse.

Sea $D$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $ADB$ intersecta a $AC$ (o su extensión) en $M$ y también a $BC$ (o su extensión) en $N$ , demostrar que los radios de las circunferencias circunscritas de $\triangle ADB$ y $\triangle MNC$ son iguales.

Determinar los enteros $0 \le a \le b \le c \le d$ tales que: $$2^n= a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$$

Sea $f:Z \to N -\{0\}$ tal que: $f(x + y)f(x-y) = (f(x)f(y))^2$ y $f(1)\ne 1$ . Demostrar que $\log_{f(1)}f(z)$ es un cuadrado perfecto para cada entero $z$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que existe un número primo $p$ , tal que $p^n-(p-1)^n$ es una potencia de $3$ . Nota. Una potencia de $3$ es un número de la forma $3^a$ donde $a$ es un entero positivo.

Resolver en enteros no negativos la ecuación $5^t + 3^x4^y = z^2$