Determine todos los polinomios no constantes $P(x)$ con coeficientes enteros tales que \[P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_1x+a_0=(x-a_{n-1})(x-a_{n-2})\dots(x-a_1)(x-a_0).\] Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $n$ un entero positivo. Daniel y Pablo juegan el siguiente juego en una pizarra. Cada hora, Daniel escribe en la pizarra un entero positivo que no es divisible por $n$ . Luego Pablo asigna un exponente al número que Daniel acaba de escribir. Después del movimiento de Pablo, verifican si la suma de todos los números escritos en la pizarra es coprima con $n$ . Si lo es, el juego continúa; de lo contrario, el juego termina y Pablo gana. Determine todos los valores de $n$ para los cuales Pablo tiene una estrategia ganadora, y halle el menor número de horas que necesita para garantizar su victoria. Propuesto por Nicolás de la Hoz

14 Para cada entero $n \ge 2$, sea $A(n)$ el área de la región en el plano coordenado definida por las desigualdades $1\le x \le n$ y $0\le y \le x \left\lfloor \sqrt x \right\rfloor$, donde $\left\lfloor \sqrt x \right\rfloor$ es el mayor entero que no excede a $\sqrt x$. Encuentra el número de valores de $n$ con $2\le n \le 1000$ para los cuales $A(n)$ es un entero.

12 Supón que los ángulos de $\triangle ABC$ satisfacen $\cos(3A) + \cos(3B) + \cos(3C) = 1$. Dos lados del triángulo tienen longitudes $10$ y $13$. Existe un entero positivo $m$ tal que la longitud máxima posible para el lado restante de $\triangle ABC$ es $\sqrt{m}$. Encuentra $m$.

5 En el triángulo equilátero $\triangle ABC$, sean los puntos $D$ y $E$ los que trisecan $\overline{BC}$. Entonces $\sin \left( \angle DAE \right)$ se puede expresar en la forma $\tfrac{a\sqrt{b}}{c}$, donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos relativos, y $b$ es un entero que no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c$.

1 Halle el menor entero positivo tal que la suma y el producto de él y $10$ sean ambos números cuadrados. YII.I.

3 Sea $K$ el producto de todos los factores $(b-a)$ (no necesariamente distintos) donde $a$ y $b$ son enteros que satisfacen $1\le a < b \le 20$. Encuentra el mayor entero positivo $n$ tal que $2^n$ divide a $K$.

1 Igual que el #3 del Nivel 1

2 En un semicírculo con centro $O$, sea $C$ un punto sobre el diámetro $AB$ distinto de $A$, $B$ y $O$. Traza por $C$ dos rayos tales que los ángulos que forman con el diámetro $AB$ sean iguales y que corten al semicírculo en $D$ y en $E$. La recta perpendicular a $CD$ que pasa por $D$ corta al semicírculo en $K$. Demuestra que si $D\neq E$, entonces $KE$ es paralelo a $AB$.

. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles por $12$ , $16$ y $18$ a la vez? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $7$ & (C) $6$ & (D) $5$ & (E) $9$ \end{tabular} Q2. ¿De cuántas maneras diferentes puede escribirse el número $24$ como un producto $x \cdot y \cdot z$ , donde $x$ , $y$ y $z$ son números naturales? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $24$ & (B) $30$ & (C) $12$ & (D) $36$ & (E) $28$ \end{tabular} Q3. En una fila de la cafetería de una escuela hay $16$ estudiantes en fila de modo que los niños y las niñas se alternan (primero un niño, luego una niña, luego un niño, y así sucesivamente). Cualquier niño que esté inmediatamente delante de una niña puede intercambiar lugar con ella. Después de un tiempo, resulta que todas las niñas están al frente de la fila y todos los niños al final. ¿Cuántos intercambios se realizaron? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $32$ & (B) $34$ & (C) $36$ & (D) $38$ & (E) $37$ \end{tabular} Q4. La figura mostrada se forma pegando cubos unitarios de tamaño $1\times1\times1$ . ¿Cuál es el área de la superficie de esta figura? [asy] import graph3; size(6cm); defaultpen(1bp); currentprojection=perspective(4,2,2); currentlight = light(white, (0, 0, 5)); draw(unitcube, deepgreen, black); draw(shift(-1,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,-1)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,2,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(1,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,1)*unitcube, deepgreen, black); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $36$ & (B) $30$ & (C) $28$ & (D) $32$ & (E) $26$ \end{tabular} Q5. En un bosquecillo hay árboles de cuatro tipos diferentes: abedul, abeto, pino y álamo. Hay $100$ árboles en total. Se sabe que entre cualesquiera $85$ árboles están presentes árboles de los cuatro tipos. ¿Cuál es el menor número $k$ tal que entre cualesquiera $k$ árboles de este bosquecillo habrá necesariamente árboles de al menos tres tipos diferentes? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $56$ & (B) $72$ & (C) $85$ & (D) $58$ & (E) $69$ \end{tabular} Q6. Askhat piensa en un número de tres cifras, y Daulet intenta adivinarlo. Daulet nombra sucesivamente los números $109$ , $704$ y $524$ . Askhat nota que cada uno de estos números совпадает (coincide) con el número oculto en exactamente una cifra, y que esa cifra está en la posición correcta. ¿Qué número pensó Askhat? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $209$ & (B) $279$ & (C) $709$ & (D) $729$ & (E) $592$ \end{tabular} Q7. Maksat tiene $2023$ fósforos. Con ellos construye hexágonos dispuestos en dos filas de modo que los hexágonos adyacentes compartan lados, como se muestra en la figura. ¿Cuántos hexágonos puede formar? [asy] size(6cm); defaultpen(1bp); path[] p=rotate(30)*polygon(6)^^shift(sqrt(3)/2,-1.5)*rotate(30)*polygon(6); for(int i=0; i<4; ++i){ draw(shift(sqrt(3)*i,0)*p);} fill(box((5.5,-4), (8,1)), white); label("$\ldots$", (6.5,0)); label("$\ldots$", (6.5,-1.5)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $505$ & (B) $504$ & (C) $506$ & (D) $503$ & (E) $501$ \end{tabular} Q8. Si esta pirámide se continúa, ¿qué número aparecerá justo debajo de $101$ ? \begin{tabular}{ccccccc} & & & 1 & & & \\ & & 2 & 3 & 4 & & \\ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \end{tabular} \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $123$ & (B) $120$ & (C) $121$ & (D) $119$ & (E) $128$ \end{tabular} Q9. Una abuela tenía un mantel de tamaño $7\times7$ . Cuando lo sacó, notó que parte del mantel había sido comida por un ratón. Las casillas comidas están marcadas en negro en la figura. Decidió cortar la mayor cantidad posible de servilletas de $1\times2$ de la parte restante del mantel. ¿Cuál es el número máximo de tales servilletas que puede obtener? [asy] unitsize(0.5cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=0; j<7; ++j){ if(i%2==1 && j%2==1){ filldraw(shift(i,j)*unitsquare, black);} else{ draw(shift(i,j)*unitsquare);}}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $20$ & (B) $24$ & (C) $16$ & (D) $18$ & (E) $19$ \end{tabular} Q10. Se nos da la expresión \[\text{MATEM} + \text{ATIKA}\] , donde cada letra representa una cifra, y letras diferentes representan cifras diferentes. ¿Cuál es el menor valor posible de esta expresión? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $23218$ & (B) $34184$ & (C) $41385$ & (D) $31393$ & (E) $42341$ \end{tabular} Q11. Halle la cifra número $2023$ después del punto decimal en el desarrollo decimal de la fracción $\frac{5}{14}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $2$ & (C) $8$ & (D) $7$ & (E) $9$ \end{tabular} Q12. Claramente, $\frac{23}{30}\neq\frac{57}{78}$ . Sin embargo, si el mismo entero positivo se resta de cada uno de los números $23$ , $30$ , $57$ y $78$ , la igualdad se vuelve verdadera. ¿Qué número debe restarse? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $6$ & (B) $5$ & (C) $11$ & (D) $8$ & (E) $10$ \end{tabular} Q13. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número $2023^{3}$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $28$ & (B) $24$ & (C) $18$ & (D) $21$ & (E) $19$ \end{tabular} Q14. En el triángulo $ABC$ , las bisectrices de los ángulos $CAB$ y $CBA$ se intersecan en el punto $P$ . Si $\angle ACB = 36^{\circ}$ , halle $\angle APB$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $72^{\circ}$ & (B) $108^{\circ}$ & (C) $126^{\circ}$ & (D) $136^{\circ}$ & (E) $106^{\circ}$ \end{tabular} Q15. La sucesión $72469106635042174\ldots$ se define mediante la siguiente regla: a partir de la quinta cifra, cada cifra es igual a la última cifra de la suma de las cuatro cifras anteriores. ¿Cuál de los siguientes números de cuatro cifras no aparece en esta sucesión? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $2023$ & (B) $8192$ & (C) $1569$ & (D) $2024$ & (E) $3027$ \end{tabular}