Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ -ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$ . Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el límite del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices no se encuentran en un círculo. Sea $A'B'C'D'$ un cuadrángulo tal que $A',B', C',D'$ son los centros de los circuncírculos de los triángulos $BCD,ACD,ABD$ , y $ABC$ . Escribimos $T (ABCD) = A'B'C'D'$ . Definamos $A''B''C''D'' = T (A'B'C'D') = T (T (ABCD)).$ (a) Demuestre que $ABCD$ y $A''B''C''D''$ son similares. (b) La razón de similitud depende del tamaño de los ángulos de $ABCD$ . Determine esta razón.

El círculo inscrito en un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$ , respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$ , respectivamente. Demuestre que los centros del círculo inscrito y de los círculos alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales.

Una partícula se mueve desde $(0, 0)$ hasta $(n, n)$ dirigida por una moneda justa. Por cada cara se mueve un paso al este y por cada cruz se mueve un paso al norte. En $(n, y), y < n$ , permanece allí si sale cara y en $(x, n), x < n$ , permanece allí si sale cruz. Sea $k$ un entero positivo fijo. Encuentre la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$

A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números sea positiva. Si tres vértices consecutivos tienen asignados los números $x,y,z$ respectivamente, e $y<0$ , entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

Sea $f(n)$ el menor número de puntos distintos en el plano tal que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una línea recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Encuentre una expresión explícita para $f(n).$ Versión simplificada. Demuestre que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right].$ Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$

Tres personas $A,B,C$ , están jugando el siguiente juego: Un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$ es escogido aleatoriamente, con una probabilidad igual de cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$ . El ganador es $A,B$ o $C$ , respectivamente, si la suma de los números escogidos deja un resto de $0, 1$ , o $2$ cuando se divide por $3$ . ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.)

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿siempre es posible colorear los puntos de rojo o blanco de manera que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas, la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$ ?

De una colección de $n$ personas, se seleccionan $q$ distintos equipos de dos miembros y se clasifican $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el entero más pequeño mayor o igual a $2q/n$ . Demuestre que existen $m$ equipos distintos que pueden ser listados de forma que:\n(i) cada par de equipos consecutivos en la lista tienen un miembro en común y\n(ii) la cadena de equipos en la lista está en orden de clasificación.\nFormulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots , q$ , demuestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$ , donde cada dos aristas consecutivas tienen un vértice en común, dispuestas monótonamente con respecto a la numeración.

Sean los números reales $x_1, x_2, \cdots , x_n$ que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y sea $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$ . Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:\n\[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{donde } i = 1, 2, . . ., n.\]\nPrueba que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$