. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles por $12$ , $16$ y $18$ a la vez? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $7$ & (C) $6$ & (D) $5$ & (E) $9$ \end{tabular} Q2. ¿De cuántas maneras diferentes puede escribirse el número $24$ como un producto $x \cdot y \cdot z$ , donde $x$ , $y$ y $z$ son números naturales? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $24$ & (B) $30$ & (C) $12$ & (D) $36$ & (E) $28$ \end{tabular} Q3. En una fila de la cafetería de una escuela hay $16$ estudiantes en fila de modo que los niños y las niñas se alternan (primero un niño, luego una niña, luego un niño, y así sucesivamente). Cualquier niño que esté inmediatamente delante de una niña puede intercambiar lugar con ella. Después de un tiempo, resulta que todas las niñas están al frente de la fila y todos los niños al final. ¿Cuántos intercambios se realizaron? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $32$ & (B) $34$ & (C) $36$ & (D) $38$ & (E) $37$ \end{tabular} Q4. La figura mostrada se forma pegando cubos unitarios de tamaño $1\times1\times1$ . ¿Cuál es el área de la superficie de esta figura? [asy] import graph3; size(6cm); defaultpen(1bp); currentprojection=perspective(4,2,2); currentlight = light(white, (0, 0, 5)); draw(unitcube, deepgreen, black); draw(shift(-1,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,-1)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,2,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(1,1,0)*unitcube, deepgreen, black); draw(shift(0,1,1)*unitcube, deepgreen, black); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $36$ & (B) $30$ & (C) $28$ & (D) $32$ & (E) $26$ \end{tabular} Q5. En un bosquecillo hay árboles de cuatro tipos diferentes: abedul, abeto, pino y álamo. Hay $100$ árboles en total. Se sabe que entre cualesquiera $85$ árboles están presentes árboles de los cuatro tipos. ¿Cuál es el menor número $k$ tal que entre cualesquiera $k$ árboles de este bosquecillo habrá necesariamente árboles de al menos tres tipos diferentes? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $56$ & (B) $72$ & (C) $85$ & (D) $58$ & (E) $69$ \end{tabular} Q6. Askhat piensa en un número de tres cifras, y Daulet intenta adivinarlo. Daulet nombra sucesivamente los números $109$ , $704$ y $524$ . Askhat nota que cada uno de estos números совпадает (coincide) con el número oculto en exactamente una cifra, y que esa cifra está en la posición correcta. ¿Qué número pensó Askhat? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $209$ & (B) $279$ & (C) $709$ & (D) $729$ & (E) $592$ \end{tabular} Q7. Maksat tiene $2023$ fósforos. Con ellos construye hexágonos dispuestos en dos filas de modo que los hexágonos adyacentes compartan lados, como se muestra en la figura. ¿Cuántos hexágonos puede formar? [asy] size(6cm); defaultpen(1bp); path[] p=rotate(30)*polygon(6)^^shift(sqrt(3)/2,-1.5)*rotate(30)*polygon(6); for(int i=0; i<4; ++i){ draw(shift(sqrt(3)*i,0)*p);} fill(box((5.5,-4), (8,1)), white); label("$\ldots$", (6.5,0)); label("$\ldots$", (6.5,-1.5)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $505$ & (B) $504$ & (C) $506$ & (D) $503$ & (E) $501$ \end{tabular} Q8. Si esta pirámide se continúa, ¿qué número aparecerá justo debajo de $101$ ? \begin{tabular}{ccccccc} & & & 1 & & & \\ & & 2 & 3 & 4 & & \\ & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \end{tabular} \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $123$ & (B) $120$ & (C) $121$ & (D) $119$ & (E) $128$ \end{tabular} Q9. Una abuela tenía un mantel de tamaño $7\times7$ . Cuando lo sacó, notó que parte del mantel había sido comida por un ratón. Las casillas comidas están marcadas en negro en la figura. Decidió cortar la mayor cantidad posible de servilletas de $1\times2$ de la parte restante del mantel. ¿Cuál es el número máximo de tales servilletas que puede obtener? [asy] unitsize(0.5cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=0; j<7; ++j){ if(i%2==1 && j%2==1){ filldraw(shift(i,j)*unitsquare, black);} else{ draw(shift(i,j)*unitsquare);}}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $20$ & (B) $24$ & (C) $16$ & (D) $18$ & (E) $19$ \end{tabular} Q10. Se nos da la expresión \[\text{MATEM} + \text{ATIKA}\] , donde cada letra representa una cifra, y letras diferentes representan cifras diferentes. ¿Cuál es el menor valor posible de esta expresión? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $23218$ & (B) $34184$ & (C) $41385$ & (D) $31393$ & (E) $42341$ \end{tabular} Q11. Halle la cifra número $2023$ después del punto decimal en el desarrollo decimal de la fracción $\frac{5}{14}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $2$ & (C) $8$ & (D) $7$ & (E) $9$ \end{tabular} Q12. Claramente, $\frac{23}{30}\neq\frac{57}{78}$ . Sin embargo, si el mismo entero positivo se resta de cada uno de los números $23$ , $30$ , $57$ y $78$ , la igualdad se vuelve verdadera. ¿Qué número debe restarse? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $6$ & (B) $5$ & (C) $11$ & (D) $8$ & (E) $10$ \end{tabular} Q13. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número $2023^{3}$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $28$ & (B) $24$ & (C) $18$ & (D) $21$ & (E) $19$ \end{tabular} Q14. En el triángulo $ABC$ , las bisectrices de los ángulos $CAB$ y $CBA$ se intersecan en el punto $P$ . Si $\angle ACB = 36^{\circ}$ , halle $\angle APB$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $72^{\circ}$ & (B) $108^{\circ}$ & (C) $126^{\circ}$ & (D) $136^{\circ}$ & (E) $106^{\circ}$ \end{tabular} Q15. La sucesión $72469106635042174\ldots$ se define mediante la siguiente regla: a partir de la quinta cifra, cada cifra es igual a la última cifra de la suma de las cuatro cifras anteriores. ¿Cuál de los siguientes números de cuatro cifras no aparece en esta sucesión? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $2023$ & (B) $8192$ & (C) $1569$ & (D) $2024$ & (E) $3027$ \end{tabular}