Los enteros positivos $a, b, c, d$ satisfacen (i) $a + b + c + d = 2023$ (ii) $2023 \text{ } | \text{ } ab - cd$ (iii) $2023 \text{ } | \text{ } a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$ Suponiendo que cada uno de los números $a, b, c, d$ es divisible por $7$ , demuestre que cada uno de los números $a, b, c, d$ es divisible por $17$ . leannan-capall

Un entero positivo es totalmente cuadrado si la suma de sus cifras (escritas en base $10$ ) es un número cuadrado. Por ejemplo, $13$ es totalmente cuadrado porque $1 + 3 = 2^2$ , pero $16$ no es totalmente cuadrado. Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no son la suma de dos enteros totalmente cuadrados. leannan-capall

Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función monótonamente creciente sobre los números naturales, tal que $f(f(n))=n^{2}$ . ¿Cuál es el menor y cuál es el mayor valor que puede tomar $f(2023)$ ? Propuesto por Ilija Jovcheski

Sea $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una función que satisface la siguiente propiedad: si $A, B, C \in \mathbb{R}^2$ son los vértices de un triángulo equilátero con lados de longitud $1$ , entonces $$f(A) + f(B) + f(C) = 0.$$ Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R}^2$ . Propuesto por Ilir Snopce

Sea $Q(x) = a_{2023}x^{2023}+a_{2022}x^{2022}+\dots+a_{1}x+a_{0} \in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio con coeficientes enteros. Para un número primo impar $p$ definimos el polinomio $Q_{p}(x) = a_{2023}^{p-2}x^{2023}+a_{2022}^{p-2}x^{2022}+\dots+a_{1}^{p-2}x+a_{0}^{p-2}.$ Suponga que existen infinitos primos $p$ tales que $$\frac{Q_{p}(x)-Q(x)}{p}$$ es un entero para todo $x \in \mathbb{Z}$ . Determine el mayor valor posible de $Q(2023)$ entre todos los polinomios $Q$ de este tipo. Autor: Nikola Velov

N5 Halle todos los enteros positivos $x, y, z$ tales que $45^x-6^y=2019^z$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A Lucky y Jinx se les dio un papel con $2023$ puntos dispuestos como los vértices de un polígono regular. Luego se les encargó colorear todos los segmentos que conectan estos puntos de modo que ningún triángulo formado con estos puntos tenga todas sus aristas del mismo color, ni de tres colores distintos, y ningún cuadrilátero (no necesariamente convexo) tenga todas sus aristas del mismo color. Después del coloreado se determinó que Jinx usó al menos dos colores más que Lucky. ¿Cuántos colores usó cada uno de ellos? Autor: Ilija Jovcheski

1 Sean $n,k$ enteros y $p$ un número primo. Halle todas las ternas $(n,k,p)$ tales que $|6n^2-17n-39|=p^k$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $K,L$ puntos en $AC,BC$ , respectivamente, tales que $\angle{AKB}=\angle{ALB}$ . $P$ es la intersección de $AL$ y $BK$ , y $Q$ es el punto medio del segmento $KL$ . Sean $T,S$ las intersecciones de $AL,BK$ con $(ABC)$ , respectivamente. Demuestre que $TK,SL,PQ$ son concurrentes.

3 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(x+f(x))=f(-x)$ y para todo $x \leq y$ se cumple $f(x) \leq f(y)$