Dado una bola $K$. Encuentre el lugar geométrico de los vértices $A$ de todos los paralelogramos $ABCD$ tales que $ AC \leq BD$, y la diagonal $BD$ se encuentra completamente dentro de la bola $K$.

Un círculo de radio 1 se coloca en una esquina de una habitación (es decir, toca el piso horizontal y dos paredes verticales perpendiculares entre sí). Encuentre el lugar geométrico del centro de la banda para todas sus posibles posiciones. Nota. Para la solución de este problema, es útil conocer el siguiente teorema de Monge: El lugar geométrico de todos los puntos $P$, tales que las dos tangentes desde $P$ a la elipse con ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ son perpendiculares entre sí, es un círculo − el llamado círculo de Monge − con ecuación $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$.

¿Es el número \[\sqrt[3]{\sqrt 5 + 2} + \sqrt[3]{\sqrt 5 - 2}\] racional o irracional?

Sean $OX, OY$ y $OZ$ tres rayos en el espacio, y $G$ un punto 'entre estos rayos' (i. e. en el interior de la parte del espacio bordeada por los ángulos $Y OZ, ZOX$ y $XOY$). Considere un plano que pasa por $G$ y se encuentra con los rayos $OX, OY$ y $OZ$ en los puntos $A, B, C$, respectivamente. Hay infinitos planos de este tipo; construir el que minimiza el volumen del tetraedro $OABC$.

Hallar el número positivo máximo $r$ con la siguiente propiedad: Si todas las alturas de un tetraedro son $\geq 1$, entonces una esfera de radio $r$ cabe dentro del tetraedro.

Sea $ABCD$ un tetraedro que tiene cada suma de lados opuestos igual a $1$. Demostrar que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, la igualdad se cumple solo si $ABCD$ es regular.

Demuestre que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo llano si y sólo si las caras son triángulos congruentes.

Se da un tetraedro $ABCD$ tal que $AD = BC = a; AC = BD = b; AB\cdot CD = c^2$ . Sea $f(P) = AP + BP + CP + DP$ , donde $P$ es un punto arbitrario en el espacio. Calcule el valor mínimo de $f(P).$

Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$ . Demuestre que si dos de los cuadriláteros $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, entonces también lo es el tercero.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$ . Defina $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\ge4$ . Construya un conjunto de puntos $P_1,P_2,P_3,\ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en el sentido de las agujas del reloj para $k=0,1,2,\ldots$ . Demuestre que si $P_{1986}=P_0$ , entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.