3 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alice y Bob, juegan el siguiente juego: - Alice elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alice escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ de tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alice con un solo intento. ¿Puede Bob estar seguro de ganar en los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifique su(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$ , Alice puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

En una secuencia de lanzamientos de una moneda, se puede llevar un registro de los casos en que una cruz es inmediatamente seguida por una cara, una cara es inmediatamente seguida por una cara, etc. Denotamos estos por CR, CC, etc. Por ejemplo, en la secuencia CCRRCCCCCRRCCRRR de 15 lanzamientos de moneda observamos que hay dos CC, tres CR, cuatro RC y cinco RR subsecuencias. ¿Cuántas secuencias diferentes de 15 lanzamientos de moneda contendrán exactamente dos CC, tres CR, cuatro RC y cinco RR subsecuencias?

14 Las distancias más cortas entre una diagonal interior de un paralelepípedo rectangular, \(P\), y las aristas que no se cruzan con ella son \(2\sqrt{5}\), \(\frac{30}{\sqrt{13}}\) y \(\frac{15}{\sqrt{10}}\). Determina el volumen de \(P\).

15 Sea el triángulo \(ABC\) un triángulo rectángulo en el plano \(xy\) con ángulo recto en \(C\). Dado que la longitud de la hipotenusa \(AB\) es 60, y que las medianas que pasan por \(A\) y \(B\) están sobre las rectas \(y=x+3\) y \(y=2x+4\) respectivamente, encuentra el área del triángulo \(ABC\).

1 Sea $x_1 = 97$, y para $n > 1$ sea $x_n = \frac{n}{x_{n - 1}}$. Calcula el producto $x_1 x_2 \dotsm x_8$.

2 Cuando un triángulo rectángulo se rota alrededor de uno de sus catetos, el volumen del cono producido es $800 \pi$ $\text{cm}^3$. Cuando el triángulo se rota alrededor del otro cateto, el volumen del cono producido es $1920 \pi$ $\text{cm}^3$. ¿Cuál es la longitud (en cm) de la hipotenusa del triángulo?

3 Encuentra $c$ si $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos que satisfacen $c=(a + bi)^3 - 107i$, donde $i^2 = -1$.

4 Se construye un cuadrado pequeño dentro de un cuadrado de área 1 dividiendo cada lado del cuadrado unitario en $n$ partes iguales, y luego conectando los vértices con los puntos de división más cercanos a los vértices opuestos. Encuentra el valor de $n$ si el área del cuadrado pequeño es exactamente 1/1985. [asy] size(200); pair A=(0,1), B=(1,1), C=(1,0), D=origin; draw(A--B--C--D--A--(1,1/6)); draw(C--(0,5/6)^^B--(1/6,0)^^D--(5/6,1)); pair point=( 0.5 , 0.5 ); //label("$A$", A, dir(point--A)); //label("$B$", B, dir(point--B)); //label("$C$", C, dir(point--C)); //label("$D$", D, dir(point--D)); label("$1/n$", (11/12,1), N, fontsize(9));[/asy]

5 Una sucesión de enteros $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ se elige de modo que $a_n = a_{n - 1} - a_{n - 2}$ para cada $n \ge 3$ . ¿Cuál es la suma de los primeros 2001 términos de esta sucesión si la suma de los primeros 1492 términos es 1985, y la suma de los primeros 1985 términos es 1492?

Como se muestra en la figura, el triángulo $ABC$ está dividido en seis triángulos más pequeños mediante rectas trazadas desde los vértices que pasan por un punto interior común. Las áreas de cuatro de estos triángulos son las indicadas. Encuentra el área del triángulo $ABC$.