Una permutación de $\{1, 2 \cdots, n \}$ es mágica si cada elemento $k$ de ella tiene al menos $\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor$ números menores a él a la izquierda. Para cada $n$ hallar el número de permutaciones mágicas.

Sea $N$ un entero positivo con $2k$ dígitos. Sus trozos se definen como los dos números formados por los dígitos del $1$ al $k$ y del $k+1$ al $2k$ (por ejemplo, los trozos de 142856 son 142 y 856). Definimos el inverso de $N$ como el número formado al intercambiar sus trozos (por ejemplo, el inverso de 142856 es 856142 y para 1401 es 114). Llamamos cearense a un número si satisface las siguientes condiciones:\nTiene un número par de dígitos\nSus trozos son primos relativos\nDivide a su inverso\nEncuentra los dos enteros cearenses más pequeños.

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $3^n - 2^n - 1$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $A_1$ y $A_2$ puntos en el lado $BC, B_1$ y $B_2$ puntos en el lado $CA$ y $C_1$ y $C_2$ puntos en el lado $AB$ tales que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ es un hexágono convexo y que $B,A_1,A_2$ y $C$ están ubicados en ese orden en el lado $BC$ . Decimos que los triángulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son pegables si existe un triángulo $PQR$ y existen $X,Y$ y $Z$ en los lados $QR, RP$ y $PQ$ respectivamente, tales que el triángulo $AB_2C_1$ es congruente en ese orden al triángulo $PYZ$ , el triángulo $BA_1C_2$ es congruente en ese orden al triángulo $QXZ$ y el triángulo $CA_2B_1$ es congruente en ese orden al triángulo $RXY$ . Demostrar que los triángulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ y $CA_2B_1$ son pegables si y sólo si los centroides de los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ coinciden.

Demostrar que existen infinitos cuádruplos de enteros positivos $(a,b,c,d)$ , tales que $ab+1$ , $bc+16$ , $cd+4$ , $ad+9$ son cuadrados perfectos

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, y se intersecan entre sí en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BPD$. Los segmentos $BM$ y $DM$ intersecan a $\omega$ nuevamente en $X$ e $Y$ respectivamente. Denotemos por $Q$ el punto de intersección de las líneas $XE$ e $YF$. Demuestre que $PQ \perp AC$.

Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la línea de Euler (la línea que pasa por el circuncentro y el ortocentro) de un triángulo escaleno agudo $ABC$. Un círculo $\omega$ con centro $S$ pasa por $A$ y $D$, e interseca los lados $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Sea $P$ el pie de la altitud desde $A$ a $BC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el circuncentro del triángulo $XSY$ es equidistante de $P$ y $M$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC \neq BC$ y sea $I$ su incentro. La línea $BI$ interseca a $AC$ en $D$, y la línea que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ interseca a $AI$ en $E$. Demuestre que la reflexión de $I$ en $AC$ se encuentra en el circuncírculo del triángulo $BDE$.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que para todo $n>k$ existen figuras convexas $F_{1},\ldots, F_{n}$ y $F$ tales que no existe un subconjunto de $k$ elementos de $F_{1},..., F_{n}$ y $F$ está cubierto por estos elementos, pero $F$ está cubierto por cada subconjunto de $k+1$ elementos de $F_{1}, F_{2},....., F_{n}$ .

Sean $B = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ puntos fijos en el plano coordenado. Se dice que un subconjunto no vacío y acotado $S$ del plano es bueno si $\text{(i)}$ existe un punto $T$ en $S$ tal que para cada punto $Q$ en $S$, el segmento $TQ$ se encuentra completamente en $S$; y $\text{(ii)}$ para cualquier triángulo $P_1P_2P_3$, existe un punto único $A$ en $S$ y una permutación $\sigma$ de los índices $\{1, 2, 3\}$ para los cuales los triángulos $ABC$ y $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ son similares. Demuestre que existen dos subconjuntos buenos distintos $S$ y $S'$ del conjunto $\{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\}$ tales que si $A \in S$ y $A' \in S'$ son las elecciones únicas de puntos en $\text{(ii)}$, entonces el producto $BA \cdot BA'$ es una constante independiente del triángulo $P_1P_2P_3$.