Considera un plano \(\epsilon\) y tres puntos no colineales \(A,B,C\) situados del mismo lado de \(\epsilon\); supón que el plano determinado por estos tres puntos no es paralelo a \(\epsilon\). En el plano \(\epsilon\) toma tres puntos arbitrarios \(A',B',C'\). Sean \(L,M,N\) los puntos medios de los segmentos \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\); sea \(G\) el baricentro del triángulo \(LMN\). (No consideraremos posiciones de los puntos \(A', B', C'\) tales que los puntos \(L,M,N\) no formen un triángulo.) ¿Cuál es el lugar geométrico del punto \(G\) cuando \(A', B', C'\) varían independientemente sobre el plano \(\epsilon\)?

1 Determina todos los números de tres dígitos $N$ que tienen la propiedad de que $N$ es divisible por 11, y $\dfrac{N}{11}$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

En un triángulo rectángulo dado $ABC$, la hipotenusa $BC$, de longitud $a$, se divide en $n$ partes iguales (siendo $n$ un entero impar). Sea $\alpha$ el ángulo agudo que subtiende, desde $A$, aquel segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea $h$ la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa del triángulo. Demuestra que: \[ \tan{\alpha}=\dfrac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

6 Considera un triángulo isósceles. Sea $R$ el radio de su circunscrita y $r$ el radio de su inscrita. Demuestra que la distancia $d$ entre los centros de estos dos círculos es \[ d=\sqrt{R(R-2r)} \]

4 Construye el triángulo \(ABC\), dados \(h_a\), \(h_b\) (las alturas desde \(A\) y \(B\)), y \(m_a\), la mediana desde el vértice \(A\).

5 Considera el cubo $ABCDA'B'C'D'$ (con la cara $ABCD$ directamente arriba de la cara $A'B'C'D'$). a) Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $XY$, donde $X$ es cualquier punto de $AC$ y $Y$ es cualquier punto de $B'D'$; b) Encuentra el lugar geométrico de los puntos $Z$ que están sobre el segmento $XY$ de la parte a) con $ZY=2XZ$.

6 Considera un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera, de modo que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestra que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentra el menor número $k$ para el cual $V_1 = k V_2$; para este caso, construye el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.

7 Dado un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$. a) Sobre el eje de simetría de este trapecio, encuentra todos los puntos $P$ tales que ambos lados no paralelos del trapecio subtiendan ángulos rectos en $P$; b) Calcula la distancia de $p$ a cualquiera de las bases; c) Determina bajo qué condiciones existen realmente tales puntos $P$. Discute los distintos casos que puedan presentarse.

1 Demuestra que la fracción $ \dfrac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo número natural $ n$ .

2 ¿Para qué valores reales de \(x\) se tiene que \[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A \] dado a) \(A=\sqrt{2}\) ; b) \(A=1\) ; c) \(A=2\), donde solo se admiten números reales no negativos para las raíces cuadradas?