Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Gamma$ e incentro $I$ y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$. Los puntos $D$, $E$, $F$ son seleccionados en los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ tales que $\overline{ID} \perp \overline{BC}$, $\overline{IE}\perp \overline{AI}$ y $\overline{IF}\perp \overline{AI}$. Suponga que el circuncírculo de $\triangle AEF$ interseca a $\Gamma$ en un punto $X$ diferente de $A$. Demuestre que las líneas $XD$ y $AM$ se encuentran en $\Gamma$.

El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$ . Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$ . El punto $D$ se elige de modo que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$ . El punto $E$ se elige de modo que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$ . Sea $M$ el punto medio de $CF$ . Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD,FX$ y $ME$ son concurrentes.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Pruebe que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]

Considere todas las sucesiones finitas de números reales positivos cada uno de cuyos términos es a lo sumo $3$ y la suma de cuyos términos es mayor que $100$. Para cada una de estas sucesiones, sea $S$ la suma de la subsecuencia cuya suma es la más cercana a $100$, y defina el defecto de esta sucesión como el valor $|S-100|$. Hallar el máximo valor posible del defecto.

Hallar el mayor entero positivo $n$ no divisible por $10$ que es múltiplo de cada uno de los números obtenidos al borrar dos dígitos consecutivos (ninguno de ellos en la primera o última posición) de $n$. (Nota: $n$ se escribe en la notación habitual en base diez.)

En el trapecio $ABCD$, la suma de las longitudes de las bases $AB$ y $CD$ es igual a la longitud de la diagonal $BD$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y sea $E$ la reflexión de $C$ sobre la línea $DM$. Pruebe que $\angle AEB=\angle ACD$ .

En un triángulo $ ABC$ , sean $ M_{a}$ , $ M_{b}$ , $ M_{c}$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente, y $ T_{a}$ , $ T_{b}$ , $ T_{c}$ los puntos medios de los arcos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ , que no contienen los vértices $ A$ , $ B$ , $ C$ , respectivamente. Para $ i \in \left\{a, b, c\right\}$ , sea $ w_{i}$ la circunferencia con $ M_{i}T_{i}$ como diámetro. Sea $ p_{i}$ la tangente externa común a las circunferencias $ w_{j}$ y $ w_{k}$ (para todo $ \left\{i, j, k\right\}= \left\{a, b, c\right\}$ ) tal que $ w_{i}$ se encuentra en el lado opuesto de $ p_{i}$ que $ w_{j}$ y $ w_{k}$ . Demuestra que las rectas $ p_{a}$ , $ p_{b}$ , $ p_{c}$ forman un triángulo similar a $ ABC$ y encuentra la razón de similitud.

Demuestre la desigualdad: \n\[\sum_{i < j}{\frac {a_{i}a_{j}}{a_{i} + a_{j}}}\leq \frac {n}{2(a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n})}\cdot \sum_{i < j}{a_{i}a_{j}}\] para números reales positivos $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ .

Hallar todos los números $n$ que pueden expresarse en la forma $n=k+2\lfloor\sqrt{k}\rfloor+2$ para algún entero no negativo $k$ .

Sean $ a > b > 1$ enteros positivos relativamente primos. Define el peso de un entero $ c$ , denotado por $ w(c)$ como el valor mínimo posible de $ |x| + |y|$ tomado sobre todos los pares de enteros $ x$ e $ y$ tales que\n\[ax + by = c.\]\nUn entero $ c$ es llamado un campeón local si $ w(c) \geq w(c \pm a)$ y $ w(c) \geq w(c \pm b)$ . Encuentra todos los campeones locales y determina su número.