A3 Demuestra que, para cualquier sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de números reales, las dos condiciones \[ \lim_{n\to\infty}\frac{e^{(ia_1)} + e^{(ia_2)} + \cdots + e^{(ia_n)}}n = \alpha \] y \[ \lim_{n\to\infty}\frac{e^{(ia_1)} + e^{(ia_2)} + \cdots + e^{(ia_{n^2})}}{n^2} = \alpha \] son equivalentes.

A4 En una fiesta, supón que ningún chico baila con todas las chicas, pero cada chica baila con al menos un chico. Demuestra que existen dos parejas $gb$ y $g'b'$ que bailan, mientras que $b$ no baila con $g'$ ni $g$ baila con $b'$.

3 Suponga que $\triangle ABC$ es un triángulo regular de lado $3$ . Tome puntos $D,E,F$ sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $BD=1$ , $\angle ADE=\angle DEF=60^{\circ}$ . Halle la longitud de $AF$ . YII.I.

A5 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los enteros del $1$ al $n$ con la condición de que, excepto el primer entero de la izquierda, cada entero difiera en $1$ de algún entero que esté a su izquierda?

A6 En el plano con coordenadas cartesianas ortogonales $x$ y $y$, demuestra que la recta cuya ecuación es $ux+vy = 1$ será tangente a la curva $x^m+y^m=1$ (donde $m>1$) si y solo si $u^n + v^n = 1$ y $m^{-1} + n^{-1} = 1$.

B1 Evalúa $ \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \cos ^ 2 \left\{\frac{\pi}{2n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)\right\} dx_1dx_2\cdots dx_n.$

B2 En un torneo de todos contra todos con $n$ jugadores $P_1$ , $P_2$ , $\ldots$ , $P_n$ (donde $n > 1$ ), cada jugador juega un partido contra cada uno de los demás jugadores y las reglas son tales que no pueden ocurrir empates. Sean $w_r$ y $l_r$ el número de partidos ganados y perdidos, respectivamente, por $P_r$ . Demuestra que \[ \sum_{r=1}^nw_r^2 = \sum_{r=1}^nl_r^2. \]

B3 Demuestra que hay exactamente tres triángulos rectángulos cuyos lados son enteros y cuya área es numéricamente igual al doble del perímetro.

B4 Considera la función \[ f(x,n) = \frac{\binom n0 + \binom n2 x + \binom n4x^2 + \cdots}{\binom n1 + \binom n3 x + \binom n5 x^2 + \cdots}, \] donde $n$ es un entero positivo. Expresa $f(x,n+1)$ racionalmente en términos de $f(x,n)$ y de $x$. De ahí, o de otra forma, evalúa $\textstyle\lim_{n\to\infty}f(x,n)$ para valores fijos adecuados de $x$. (Los símbolos $\textstyle\binom nr$ representan los coeficientes binomiales.)

B5 Considera colecciones de pares no ordenados de $V$ objetos distintos $a$, $b$, $c$, $\ldots$, $k$. Tres pares como $ab$, $bc$, $ab$ se dice que forman un triángulo. Demuestra que, si $4E\leq V^2$, es posible elegir $E$ pares de modo que no se forme ningún triángulo.