Una partícula se mueve desde $(0, 0)$ hasta $(n, n)$ dirigida por una moneda justa. Por cada cara, se mueve un paso hacia el este y por cada cruz, se mueve un paso hacia el norte. En $(n, y), y < n$, se queda ahí si sale cara y en $(x, n), x < n$, se queda ahí si sale cruz. Sea $k$ un entero positivo fijo. Encuentre la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$

En una urna hay n bolas numeradas $1, 2, \cdots, n$. Se sacan al azar una por una sin reemplazo y se registran los números. ¿Cuál es la probabilidad de que la permutación aleatoria resultante tenga solo un máximo local? Un término en una secuencia es un máximo local si es mayor que todos sus vecinos.

Sea $d$ cualquier entero positivo no igual a $2, 5$ o $13$. Demuestre que uno puede encontrar distintos $a,b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tal que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Sean los números reales $x_1, x_2, \cdots , x_n$ que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y sea $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$. Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{donde } i = 1, 2, . . ., n.\]\nPruebe que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$

Se dan dos familias de líneas paralelas en el plano, que constan de $15$ y $11$ líneas, respectivamente. En cada familia, dos líneas vecinas cualesquiera están a una distancia unitaria una de otra; las líneas de la primera familia son perpendiculares a las líneas de la segunda familia. Sea $V$ el conjunto de $165$ puntos de intersección de las líneas en consideración. Demuestre que existen no menos de $1986$ cuadrados distintos con vértices en el conjunto $V$.

Sean $I$ y $J$ los centros del incírculo y el excírculo en el ángulo $BAC$ del triángulo $ABC$. Para cualquier punto $M$ en el plano del triángulo, no en la línea $BC$, denote por $I_M$ y $J_M$ los centros del incírculo y el excírculo (tocando $BC$) del triángulo $BCM$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ para los cuales $II_MJJ_M$ es un rectángulo.

Sea $(a_n)_{n \geq 0}$ la secuencia de enteros definida recursivamente por $a_0 = 0, a_1 = 1, a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n$ para $n \geq 0.$ Encuentre los divisores comunes de $a_{1986}$ y $a_{6891}.$

Sea $AB$ un segmento de longitud unitaria y sean $C, D$ puntos variables de este segmento. Encuentre el valor máximo del producto de las longitudes de los seis segmentos distintos con puntos finales en el conjunto $\{A,B,C,D\}.$

Para cualquier ángulo α con $0 < \alpha < 180^{\circ}$ , llamamos a un conjunto plano convexo cerrado un $\alpha$ - conjunto si está acotado por dos arcos circulares (o un arco y un segmento de línea) cuyo ángulo de intersección es $\alpha$ . Dado un triángulo (cerrado) $T$ , encontrar el mayor $\alpha$ tal que cualesquiera dos puntos en $T$ están contenidos en un $\alpha$ - conjunto $S \subset T .$

Sea $f : [0, 1] \to [0, 1]$ tal que $f(0) = 0, f(1) = 1$ y \[f(x + y) - f(x) = f(x) - f(x - y)\] para todo $x, y \geq 0$ con $x - y, x + y \in [0, 1].$ Demostrar que $f(x) = x$ para todo $x \in [0, 1].$