B1 Encuentra todas las soluciones enteras $(m,n)$ de $m^{n}=n^{m}.$

B2 Evalúa la serie doble $$\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-3k -j -(k+j)^{2}}.$$

B3 El movimiento de las partículas de un fluido en el plano está especificado por las siguientes componentes de la velocidad $$\frac{dx}{dt}=y+2x(1-x^2 -y^2),\;\; \frac{dy}{dt}=-x.$$ Dibuja la forma de las trayectorias cerca del origen. Discute qué le sucede a una partícula individual cuando $t\to \infty$, y justifica tu conclusión.

B4 Considera la progresión aritmética $a, a+d, a+2d,\ldots$ donde $a$ y $d$ son enteros positivos. Para cualquier entero positivo $k$, demuestra que la progresión tiene o bien ninguna potencia $k$-ésima o bien infinitas.

B5 Define una sucesión $(a_n)$ mediante $a_0 = 0$ y $a_n = 1 + \sin(a_{n-1} - 1)$ para $n \geq 1$. Evalúa $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k.$$

B6 Cualquier entero positivo $n$ se puede escribir en la forma $n=2^{k}(2l+1)$ con $k,l$ enteros positivos. Sea $a_n =e^{-k}$ y $b_n = a_1 a_2 a_3 \cdots a_n.$ Demuestra que $$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$$ converge.

B7 Sean $g(t)$ y $h(t)$ funciones reales y continuas para $t\geq 0.$ Demuestra que cualquier función $v(t)$ que satisface la desigualdad diferencial $$\frac{dv}{dt}+g(t)v \geq h(t),\;\; v(t)=c,$$ satisface además la desigualdad $v(t)\geq u(t),$ donde $$\frac{du}{dt}+g(t)u = h(t),\;\; u(t)=c.$$ A partir de esto, concluye que para $t>0$ suficientemente pequeño, la solución de $$\frac{dv}{dt}+g(t)v = v^2 ,\;\; v(t)=c$$ puede escribirse como $$v=\max_{w(t)} \left( c e^{- \int_{0}^{t} |g(s)-2w(s)| \, ds} -\int_{0}^{t} e^{-\int_{0}^{t} |g(s')-2w(s')| \, ds'} w(s)^{2} ds \right),$$ donde el máximo se toma sobre todas las funciones continuas $w(t)$ definidas en algún intervalo $[0,t_0 ].$

A1 Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $x^n -\frac{1}{x^{n}}$ se puede expresar como un polinomio en $x-\frac{1}{x}$ con coeficientes reales si y solo si $n$ es impar.

A2 "Sea $\omega^3 = 1, \omega \neq 1$. Demuestra que $z_1, z_2, -\omega z_1, -\omega^2z_2$ son los vértices de un triángulo equilátero."

A3 Encuentra todas las funciones $f$ de variable compleja con valores complejos tales que $$f(z)+zf(1-z)=1+z$$ para todo $z\in \mathbb{C}$ .