Dado que la ecuación $xyz = p^n(x + y + z)$ donde $p \geq 3$ es un primo y $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que la ecuación tiene al menos $3n + 3$ soluciones diferentes $(x,y,z)$ con números naturales $x,y,z$ y $x < y < z$ . Demostrar lo mismo para $p > 3$ siendo un entero impar.

Llamamos a un tetraedro de caras rectas si cada una de sus caras es un triángulo rectángulo. (a) Demostrar que cada paralelepípedo ortogonal puede ser particionado en seis tetraedros de caras rectas. (b) Demostrar que un tetraedro con vértices $A_1,A_2,A_3,A_4$ es de caras rectas si y sólo si existen cuatro números reales distintos $c_1, c_2, c_3$ , y $c_4$ tales que las aristas $A_jA_k$ tienen longitudes $A_jA_k=\sqrt{|c_j-c_k|}$ para $1\leq j < k \leq 4.$

Dado un entero positivo $k$, encontrar el menor entero $n_k$ para el cual existen cinco conjuntos $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ con las siguientes propiedades: \[|S_j|=k \text{ para } j=1, \cdots , 5 , \quad |\bigcup_{j=1}^{5} S_j | = n_k ;\] \[|S_i \cap S_{i+1}| = 0 = |S_5 \cap S_1|, \quad \text{para } i=1,\cdots ,4 \]

Sea $\mathbb N = B_1\cup\cdots \cup B_q$ una partición del conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos y sea un entero $l \in \mathbb N$ dado. Demostrar que existe un conjunto $X \subset \mathbb N$ de cardinalidad $l$, un conjunto infinito $T \subset \mathbb N$, y un entero $k$ con $1 \leq k \leq q$ tal que para cualquier $t \in T$ y cualquier conjunto finito $Y \subset X$, la suma $t+ \sum_{y \in Y} y$ pertenece a $B_k$.

Dado un punto $P_0$ en el plano del triángulo $A_1A_2A_3$. Definir $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\ge4$. Construir un conjunto de puntos $P_1,P_2,P_3,\ldots$ tal que $P_{k+1}$ es la imagen de $P_k$ bajo una rotación con centro en $A_{k+1}$ a través de un ángulo de $120^o$ en sentido horario para $k=0,1,2,\ldots$. Demostrar que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Sea $N = \{1, 2, \ldots, n\}$, $n \geq 3$. A cada par $i \neq j$ de elementos de $N$ se le asigna un número $f_{ij} \in \{0, 1\}$ tal que $f_{ij} + f_{ji} = 1$. Sea $r(i)=\sum_{i \neq j} f_{ij}$, y escriba $M = \max_{i\in N} r(i)$, $m = \min_{i\in N} r(i)$. Demostrar que para cualquier $w \in N$ con $r(w) = m$ existen $u, v \in N$ tales que $r(u) = M$ y $f_{uv}f_{vw} = 1$.

Sea $O$ un punto interior de un tetraedro $A_1A_2A_3A_4$. Sean $S_1, S_2, S_3, S_4$ esferas con centros $A_1,A_2,A_3,A_4$, respectivamente, y sean $U, V$ esferas con centros en $O$. Suponga que para $i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j$, las esferas $S_i$ y $S_j$ son tangentes entre sí en un punto $B_{ij}$ que se encuentra en $A_iA_j$. Suponga también que $U$ es tangente a todas las aristas $A_iA_j$ y $V$ es tangente a las esferas $S_1, S_2, S_3, S_4$. Demostrar que $A_1A_2A_3A_4$ es un tetraedro regular.

Demostrar que la suma de los ángulos de las caras en cada vértice de un tetraedro es un ángulo recto si y sólo si las caras son triángulos congruentes.

Un conjunto de $n$ dados estándar se agitan y se colocan aleatoriamente en una línea recta. Si $n < 2r$ y $r < s$, entonces la probabilidad de que haya una cadena de al menos $r$, pero no más de $s$, $1$'s consecutivos se puede escribir como $\frac{P}{6^{s+2}}$. Encuentra una expresión explícita para $P$.

En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 100^{\circ}, AB = AC$. Se elige un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $\angle ABD = \angle CBD$. Demuestra que $AD + DB = BC$.