A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, e $y<0$, entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Dicha operación se realiza repetidamente mientras que al menos uno de los cinco números sea negativo. Determinar si este procedimiento necesariamente llega a su fin después de un número finito de pasos.

Demostrar que el conjunto $\{1, 2, . . . , 1986\}$ se puede dividir en $27$ conjuntos disjuntos de modo que ninguno de estos conjuntos contenga una terna aritmética (es decir, tres números distintos en progresión aritmética).

Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier línea recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y rojos en $L$ no sea mayor que $1$?

Establece los valores máximo y mínimo que puede tener la suma $|a| + |b| + |c|$ si $a, b, c$ son números reales tales que el valor máximo de $|ax^2 + bx + c|$ es $1$ para $-1 \leq x \leq 1.$

Para cada entero no negativo $n$ , $F_n(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $n$ . Demuestra que si la identidad \[F_n(2x)=\sum_{r=0}^{n} (-1)^{n-r} \binom nr 2^r F_r(x)\] se cumple para cada n, entonces \[F_n(tx)=\sum_{r=0}^{n} \binom nr t^r (1-t)^{n-r} F_r(x)\]

Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ - gono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$ , que es congruente e inicialmente coincide con $OAB$ , se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan cada uno todo el límite del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Encuentra el lugar geométrico de $X$.

Encuentra, con prueba, todas las soluciones de la ecuación $\frac 1x +\frac 2y- \frac 3z = 1$ en enteros positivos $x, y, z$.

Sean $P$ y $Q$ puntos distintos en el plano de un triángulo $ABC$ tales que $AP : AQ = BP : BQ = CP : CQ$. Demuestra que la línea $PQ$ pasa por el circuncentro del triángulo.

Demuestre que un poliedro convexo cuyas caras son todos triángulos equiláteros tiene como máximo $30$ aristas.

Definimos una operación binaria $\star$ en el plano de la siguiente manera: Dados dos puntos $A$ y $B$ en el plano, $C = A \star B$ es el tercer vértice del triángulo equilátero ABC orientado positivamente. ¿Cuál es la posición relativa de tres puntos $I, M, O$ en el plano si $I \star (M \star O) = (O \star I)\star M$ se cumple?