4 Considera la afirmación de que para cada entero positivo $n\geq2$, el residuo al dividir $2^{2^n}$ entre $2^n-1$ es una potencia de $4$. O demuestra la afirmación o encuentra (con prueba) un contraejemplo.

3 En el hexágono \(ABCDEF\), que es no convexo pero no se auto-interseca, ningún par de lados opuestos son paralelos. Los ángulos internos satisfacen \(\angle A=3\angle D\), \(\angle C=3\angle F\), y \(\angle E=3\angle B\). Además, \(AB=DE\), \(BC=EF\), y \(CD=FA\). Demuestra que las diagonales \(\overline{AD}\), \(\overline{BE}\), y \(\overline{CF}\) son concurrentes.

Para entero \(n\geq2\), sean \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) números reales que satisfacen \[x_1+x_2+\ldots+x_n=0, \qquad \text{y}\qquad x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1.\] Para cada subconjunto \(A\subseteq\{1, 2, \ldots, n\}\), define \[S_A=\sum_{i\in A}x_i.\] (Si \(A\) es el conjunto vacío, entonces \(S_A=0\).) Demuestra que para cualquier número positivo \(\lambda\), el número de conjuntos \(A\) que satisfacen \(S_A\geq\lambda\) es a lo más \(2^{n-3}/\lambda^2\). ¿Para qué elecciones de \(x_1, x_2, \ldots, x_n, \lambda\) se cumple la igualdad?

Hay $n$ estudiantes parados en un círculo, uno detrás del otro. Los estudiantes tienen alturas $h_1<h_2<\dots <h_n$. Si un estudiante con altura $h_k$ está parado directamente detrás de un estudiante con altura $h_{k-2}$ o menor, se permite que los dos estudiantes intercambien lugares. Demuestra que no es posible hacer más de $\binom{n}{3}$ de tales intercambios antes de llegar a una posición en la que no sean posibles más intercambios.

3 Los números positivos $a_1, a_2, \ldots , a_{2010}$ satisfacen la desigualdad $a_ia_j \le i+j$ para todos los índices distintos $i, j$. Determina, con demostración, el mayor valor posible del producto $a_1a_2\ldots a_{2010}$.

4 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^{\circ}$. Los puntos $D$ y $E$ están sobre los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $\angle ABD = \angle DBC$ y $\angle ACE = \angle ECB$. Los segmentos $BD$ y $CE$ se intersectan en $I$. Determina si es posible o no que los segmentos $AB$, $AC$, $BI$, $ID$, $CI$, $IE$ tengan todos longitudes enteras.

5 Sea \( q = \frac{3p-5}{2} \) donde \( p \) es un primo impar, y sea \[ S_q = \frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{q(q+1)(q+2)} \] Demuestra que si \( \frac{1}{p}-2S_q = \frac{m}{n} \) para enteros \( m \) y \( n \), entonces \( m - n \) es divisible por \( p \).

Un pizarrón contiene 68 pares de enteros distintos de cero. Supón que para cada entero positivo $k$ a lo sumo uno de los pares $(k, k)$ y $(-k, -k)$ está escrito en el pizarrón. Un estudiante borra algunos de los 136 enteros, sujeto a la condición de que no se puedan borrar dos enteros cuya suma sea 0. El estudiante obtiene un punto por cada uno de los 68 pares en los que al menos un entero es borrado. Determina, con prueba, el mayor número $N$ de puntos que el estudiante puede garantizar obtener sin importar cuáles 68 pares hayan sido escritos en el pizarrón.

1 Dados los círculos \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) que se intersectan en los puntos \( X \) y \( Y \), sea \( \ell_1 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_1 \) e intersecta a \( \omega_2 \) en los puntos \( P \) y \( Q \), y sea \( \ell_2 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_2 \) e intersecta a \( \omega_1 \) en los puntos \( R \) y \( S \). Demuestra que si \( P, Q, R \) y \( S \) están sobre un círculo, entonces el centro de este círculo se encuentra sobre la recta \( XY \).

1 Halle todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación $$2(x+y+z+2xyz)^2=(2xy+2yz+2zx+1)^2+2023.$$