Si $T$ y $T_1$ son dos triángulos con ángulos $x, y, z$ y $x_1, y_1, z_1$ , respectivamente, demuestre la desigualdad \[\frac{\cos x_1}{\sin x}+\frac{\cos y_1}{\sin y}+\frac{\cos z_1}{\sin z} \leq \cot x+\cot y+\cot z.\]

Encuentre todos los enteros $x,y,z$ tales que \[x^3+y^3+z^3=x+y+z=8\]

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de una cuerda circular tal que $B$ está al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros de largo. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, se giró y nadó hacia el oeste, llegando a la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son ambos enteros positivos, determine $y$.

El incentro de un triángulo es el punto medio del segmento de línea de longitud $4$ que une el baricentro y el ortocentro del triángulo. Determina el área máxima posible del triángulo.

De una colección de $n$ personas, se seleccionan $q$ distintos equipos de dos miembros y se clasifican $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el entero más pequeño mayor o igual que $2q/n$. Demuestra que hay $m$ equipos distintos que pueden ser listados de tal manera que: (i) cada par de equipos consecutivos en la lista tienen un miembro en común y (ii) la cadena de equipos en la lista está en orden de rango. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots, q$, muestra que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$, cada dos aristas consecutivas teniendo un vértice común, dispuestas monótonamente con respecto a la numeración.

Sea $(a_i)_{i\in \mathbb N}$ una secuencia estrictamente creciente de números reales positivos tal que $\lim_{i \to \infty} a_i = +\infty$ y $a_{i+1}/a_i \leq 10$ para cada $i$. Demuestra que para cada entero positivo $k$ hay infinitos pares $(i, j)$ con $10^k \leq a_i/a_j \leq 10^{k+1}$.

Un juego para una persona con dos resultados posibles se juega de la siguiente manera: Después de cada jugada, el jugador recibe $a$ o $b$ puntos, donde $a$ y $b$ son enteros con $0 < b < a < 1986$. El juego se juega tantas veces como se desee y la puntuación total del juego se define como la suma de los puntos recibidos después de jugadas sucesivas. Se observa que todo entero $x \geq 1986$ se puede obtener como la puntuación total, mientras que $1985$ y $663$ no se pueden obtener. Determina $a$ y $b$.

Dos líneas rectas perpendiculares entre sí se encuentran con cada lado de un triángulo en puntos simétricos con respecto al punto medio de ese lado. Demuestra que estas dos líneas se intersecan en un punto en el círculo de los nueve puntos.

Sea $ABCD$ un tetraedro que tiene cada suma de lados opuestos igual a $1$ . Demuestra que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, la igualdad se cumple solo si $ABCD$ es regular.

Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$ . Demuestra que si dos de los cuadriláteros $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, también lo es el tercero.