Sea \[ \vec{G}(x,y) = \left( \frac{-y}{x^2+4y^2}, \frac{x}{x^2+4y^2},0 \right). \] Demuestra o refuta que existe una función vectorial \[ \vec{F}(x,y,z) = (M(x,y,z), N(x,y,z), P(x,y,z)) \] con las siguientes propiedades: (i) $M,N,P$ tienen derivadas parciales continuas para todo $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ ; (ii) $\mathrm{Curl}\,\vec{F} = \vec{0}$ para todo $(x,y,z) \neq (0,0,0)$ ; (iii) $\vec{F}(x,y,0) = \vec{G}(x,y)$ .

A6 Para cada entero positivo $n$, sea $a(n)$ el número de ceros en la representación en base 3 de $n$. ¿Para qué números reales positivos $x$ converge la serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{a(n)}}{n^3} \]?

B1 Evalúa \[ \int_2^4 \frac{\sqrt{\ln(9-x)}\,dx}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}. \]

Sean $r$, $s$ y $t$ enteros con $0 \leq r$, $0 \leq s$ y $r+s \leq t$. Demuestra que \[ \frac{\binom s0}{\binom tr} + \frac{\binom s1}{\binom{t}{r+1}} + \cdots + \frac{\binom ss}{\binom{t}{r+s}} = \frac{t+1}{(t+1-s)\binom{t-s}{r}}. \]

B3 Sea $F$ un campo en el que $1+1 \neq 0$. Demuestra que el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2+y^2=1$ con $x$ y $y$ en $F$ está dado por $(x,y)=(1,0)$ y \[ (x,y) = \left( \frac{r^2-1}{r^2+1}, \frac{2r}{r^2+1} \right) \] donde $r$ recorre los elementos de $F$ tales que $r^2\neq -1$.

B4 Sea $(x_1,y_1) = (0.8, 0.6)$ y sean $x_{n+1} = x_n \cos y_n - y_n \sin y_n$ y $y_{n+1}= x_n \sin y_n + y_n \cos y_n$ para $n=1,2,3,\dots$ . Para cada uno de $\lim_{n\to \infty} x_n$ y $\lim_{n \to \infty} y_n$, demuestra que el límite existe y encuéntralo, o demuestra que el límite no existe.

B5 Sea $O_n$ el vector $n$-dimensional $(0,0,\cdots, 0)$. Sea $M$ una matriz de $2n \times n$ de números complejos tal que siempre que $(z_1, z_2, \dots, z_{2n})M = O_n$, con $z_i$ complejos, no todos cero, entonces al menos uno de los $z_i$ no es real. Demuestra que para números reales arbitrarios $r_1, r_2, \dots, r_{2n}$, existen números complejos $w_1, w_2, \dots, w_n$ tales que \[ \mathrm{re}\left[ M \left( \begin{array}{c} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{array} \right) \right] = \left( \begin{array}{c} r_1 \\ \vdots \\ r_n \end{array} \right). \] (Nota: si $C$ es una matriz de números complejos, $\mathrm{re}(C)$ es la matriz cuyas entradas son las partes reales de las entradas de $C$.)

Sea $F$ el campo de $p^2$ elementos, donde $p$ es un primo impar. Supón que $S$ es un conjunto de $(p^2-1)/2$ elementos distintos no nulos de $F$ con la propiedad de que para cada $a \neq 0$ en $F$, exactamente uno de $a$ y $-a$ está en $S$. Sea $N$ el número de elementos en la intersección $S \cap \{2a : a \in S\}$. Demuestra que $N$ es par.

A1 Encuentra, con explicación, el valor máximo de $f(x)=x^3-3x$ en el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $x^4+36\leq 13x^2$.

A2 ¿Cuál es el dígito de las unidades (es decir, el de la derecha) de \[ \left\lfloor \frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\right\rfloor ? \]