6 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $4^n + 4n + 1$ es un cuadrado perfecto.

1 Halle el mayor múltiplo de $11$ que tiene todas sus cifras diferentes.

2 La figura muestra dos circunferencias concéntricas en el punto $O$ . En la circunferencia exterior se trazan cuerdas $AB$ , $BC$ , $CD$ , $ ...$ de modo que todas tocan a la circunferencia interior en un punto. Si $\angle ABC = 75^o$ , halle el número de cuerdas que deben trazarse antes de volver al punto de partida. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/4/0/2280e7bd0d7d51c3b2d1d55d47d9438b0056b4.png

3 Danielle quiere pintar de negro algunas casillas de un tablero de $2 \times n$ de modo que cada casilla tenga un número impar de casillas vecinas pintadas de negro. Sea $a_n$ el número de maneras de pintar el tablero de $2 \times n$ . Halle $a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2022}$ . Nota: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.

4 El promedio de $10$ enteros positivos distintos es menor que $5.8$ . Halle cuántos conjuntos satisfacen esta condición.

5 Sean $a,b$ números reales positivos tales que $a + b = 2$ . Demuestre que $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \ge a^2+b^2.$$

6 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $BC$ . Sean $D$ y $E$ puntos distintos del segmento $BC$ y sean $P, Q$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a $AB$ y desde $E$ a $AC$ , respectivamente. $DP$ y $EQ$ se intersecan en $R$ . Las rectas $CR$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $BR$ y $AC$ se intersecan en $N$ . Demuestre que $MN \parallel BC$ si y solo si $BD=CE$ .

1 Un número de tres cifras $\overline{abc}$ se llama ecuatoriano si cumple las siguientes condiciones: $\bullet$ $\overline{abc}$ no termina en $0$ . $\bullet$ $\overline{abc}$ es un múltiplo de $36$ . $\bullet$ $\overline{abc} - \overline{cba}$ es positivo y múltiplo de $36$ . Determine todos los números ecuatorianos.

2 Halle cuántos valores enteros $3\le n \le 99$ satisfacen que el polinomio $x^2 + x + 1$ divide a $x^{2^n} + x + 1$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto del segmento $AC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BDC$ corta a $AB$ nuevamente en $E$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ corta a $BC$ nuevamente en $F$ . Demuestre que $AE = CF$ si y solo si $BD$ es la bisectriz interior de $\angle ABC$ .