Considera la ecuación $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$ con coeficientes reales $a, b$ . Determina el número de raíces reales distintas y sus multiplicidades para varios valores de $a$ y $b$ . Muestra tu resultado gráficamente en el plano $(a, b)$ .

Sea $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo fijo y $x =1, 2, \cdots .$ ¿Es la expansión decimal $a = 0.f (1)f(2)f(3) . . .$ racional para cualquier valor de $n$ ? La expansión decimal de a se define como sigue: Si $f(x) = d_1(x)d_2(x) \cdots d_{r(x)}(x)$ es la expansión decimal de $f(x)$ , entonces $a = 0.1d_1(2)d_2(2) \cdots d_{r(2)}(2)d_1(3) . . . d_{r(3)}(3)d_1(4) \cdots .$

Cien puntos rojos y cien puntos azules son elegidos en el plano, no tres de ellos están en una línea. Demuestra que estos puntos pueden ser conectados por pares, rojos con azules, por segmentos de línea disjuntos.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $C$. Demuestre que existe un punto $M$ en $C$ tal que $MA_1 -MA_2 +MA_3 -MA_4 = 0.$

Sea $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ la sucesión de enteros definida recursivamente por $a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = 7a_{n+1} - a_n - 2$ para $n \geq 1$. Demuestre que $a_n$ es un cuadrado perfecto para todo $n.$

Sean $AA',BB', CC'$ las bisectrices de los ángulos de un triángulo $ABC \ (A' \in BC, B' \in CA, C' \in AB)$. Demuestre que cada una de las rectas $A'B', B'C', C'A'$ interseca a la circunferencia inscrita en dos puntos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ que satisfacen la ecuación $p^x - y^3 = 1$, donde $p$ es un número primo dado.

Dado un entero positivo $n$, encuentre el entero más grande $p$ con la propiedad de que para cualquier función $f : \mathbb P(X) \to C$, donde $X$ y $C$ son conjuntos de cardinalidad $n$ y $p$, respectivamente, existen dos conjuntos distintos $A,B \in \mathbb P(X)$ tales que $f(A) = f(B) = f(A \cup B)$. ( $\mathbb P(X)$ es la familia de todos los subconjuntos de $X$. )

Demuestre la desigualdad \n\[(-a+b+c)^2(a-b+c)^2(a+b-c)^2 \geq (-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\] para todos los números reales $a, b, c.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices no se encuentran en un círculo. Sea $A'B'C'D'$ un cuadrángulo tal que $A',B', C',D'$ son los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD,ACD,ABD$, y $ABC$. Escribimos $T (ABCD) = A'B'C'D'$. Definamos $A''B''C''D'' = T (A'B'C'D') = T (T (ABCD)).$ (a) Demuestre que $ABCD$ y $A''B''C''D''$ son similares. (b) La razón de similitud depende del tamaño de los ángulos de $ABCD$. Determine esta razón.