4 Sea $V$ un conjunto de $2019$ puntos en el espacio donde cualesquiera cuatro de los puntos no están en el mismo plano, y sea $E$ el conjunto de aristas que los conectan. Halle el menor entero positivo $n$ que satisfaga la siguiente condición: si $E$ tiene al menos $n$ elementos, entonces existen $908$ subconjuntos de dos elementos de $E$ tales que las dos aristas de cada subconjunto comparten un vértice común, y dos subconjuntos cualesquiera no se intersecan.

1 Suponga que $a_1,a_2,\cdots,a_{100}\in\mathbb{R}^+$ son tales que $a_i\geq a_{101-i}\,(i=1,2,\cdots,50).$ . Sean $x_k=\frac{ka_{k+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_k}\,(k=1,2,\cdots,99).$ . Demuestre que $$x_1x_2^2\cdots x_{99}^{99}\leq 1.$$ .

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que: $(1)$ $n$ tiene al menos $4$ divisores positivos. $(2)$ si todos los divisores positivos de $n$ son $d_1,d_2,\cdots ,d_k,$ entonces $d_2-d_1,d_3-d_2,\cdots ,d_k-d_{k-1}$ forman una progresión geométrica.

3 Los puntos $A,B,C,D,E$ se encuentran sobre una recta en ese orden, tales que $BC=CD=\sqrt{AB\cdot DE},$ $P$ no se encuentra sobre la recta y satisface que $PB=PD.$ Los puntos $K,L$ se encuentran sobre los segmentos $PB,PD,$ respectivamente, tales que $KC$ biseca a $\angle BKE,$ y $LC$ biseca a $\angle ALD.$ . Demuestre que $A,K,L,E$ son concíclicos.

4 Cada lado de un polígono convexo de $2019$ lados está coloreado de rojo, amarillo o azul, y hay exactamente $673$ lados de cada color. Demuestre que existe al menos una manera de trazar $2016$ diagonales para dividir el polígono convexo de $2019$ lados en $2017$ triángulos, tal que dos cualesquiera de las $2016$ diagonales no se intersecan en el interior del polígono de $2019$ lados, y para cualquier triángulo entre los $2017$ triángulos, los colores de los tres lados del triángulo son todos iguales o todos distintos.

1 Sean $ a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n,A,B$ reales positivos tales que $ a_i\leq b_i,a_i\leq A$ $(i=1,2,\cdots,n)$ y $\frac{b_1 b_2 \cdots b_n}{a_1 a_2 \cdots a_n}\leq \frac{B}{A}.$ . Demuestre que $$\frac{(b_1+1) (b_2+1) \cdots (b_n+1)}{(a_1+1) (a_2+1) \cdots (a_n+1)}\leq \frac{B+1}{A+1}.$$ .

2 En el triángulo $\triangle ABC$ , $AB<AC$ , $M,D,E$ son los puntos medios de $BC$ y de los arcos $BAC$ y $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ , respectivamente. La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca a $AB$ en $F$ , $AE$ corta a $BC$ en $G$ , y la perpendicular a $AB$ en $B$ corta al segmento $EF$ en $N$ . Si $BN=EM$ , demuestre que $DF$ es perpendicular a $FG$ .

3 Sean $n,k,m$ enteros positivos, donde $k\ge 2$ y $n\le m < \frac{2k-1}{k}n$ . Sea $A$ un subconjunto de $\{1,2,\ldots ,m\}$ con $n$ elementos. Demuestre que todo entero en el intervalo $\left(0,\frac{n}{k-1}\right)$ puede expresarse como $a-b$ , donde $a,b\in A$ .

4 Defina la sucesión $\{a_n\}$ : $a_1$ es cualquier entero positivo, y para cualquier entero positivo $n\ge 1$ , $a_{n+1}$ es el menor entero positivo coprimo con $\sum_{i=1}^{n} a_i$ y distinto de $a_1,\ldots, a_n$ . Demuestre que todo entero positivo aparece en la sucesión $\{a_n\}$ .

1 Sean $a,b \in \mathbb R,f(x)=ax+b+\frac{9}{x}.$ . Demuestre que existe $x_0 \in \left[1,9 \right],$ tal que $|f(x_0)| \ge 2.$ .