A3 Encuentra el valor de $ k\ (0<k<5)$ tal que $ \int_0^{\infty} \frac{x^k}{2+4x+3x^2+5x^3+3x^4+4x^5+2x^6}\ dx$ sea mínimo.

A4 Una operación de bypass en un conjunto $S$ es una función $B: S\times S \rightarrow S$ con la propiedad de que $B(B(w, x), B(y,z)) = B(w,z)$ para todos $w, x, y, z \in S$ . (a) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(c,c)=c$ cuando $B$ es un bypass. (b) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(a,x)=B(c,x)$ para todo $x\in S$ cuando $B$ es un bypass. (c) Construye una operación de bypass $B$ en un conjunto finito $S$ con las siguientes tres propiedades: $B(x,x)=x$ para todo $x\in S$ . Existen $d$ y $e$ en $S$ con $B(d,e)=d \ne e.$ Existen $f$ y $g$ en $S$ con $B(f,g)\ne f.$

A5 Sea $0 < x_i < \pi$ para $i=1,2,\ldots, n$ y define $$x= \frac{ x_1 +x_2 + \ldots+ x_n }{n}.$$ Demuestra que $$ \prod_{i=1}^{n} \frac{ \sin x_i }{x_i } \leq \left( \frac{ \sin x}{x}\right)^{n}.$$

A6 Sean $n$ puntos distintos en el plano. Demuestra que menos de $2 n^{3 \slash 2}$ pares de ellos están a distancia unitaria.

B1 Encuentra el área de un octágono convexo que está inscrito en un círculo y tiene cuatro lados consecutivos de longitud $3$ y los cuatro lados restantes de longitud $2$. Da la respuesta en la forma $r+s\sqrt{t}$ con $r, s, t$ enteros positivos.

B2 Expresa $$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2 n +m n^2 +2mn }$$ como un número racional.

B3 La sucesión de polinomios $(Q_{n}(x))$ está definida por $$Q_{1}(x)=1+x ,\; Q_{2}(x)=1+2x,$$ y para $m \geq 1 $ por $$Q_{2m+1}(x)= Q_{2m}(x) +(m+1)x Q_{2m-1}(x),$$ $$Q_{2m+2}(x)= Q_{2m+1}(x) +(m+1)x Q_{2m}(x).$$ Sea $x_n$ la raíz real más grande de $Q_{n}(x).$ Demuestra que $(x_n )$ es una sucesión creciente y que $\lim_{n\to \infty} x_n =0.$

5 Considera una sucesión de polinomios $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x), \ldots$, donde $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$ y para todo $n \geq 1$ se cumple la siguiente igualdad: \[P_{n+1}(x) + P_{n-1}(x) = xP_n(x).\] Demuestra que existen tres números reales $a, b, c$ tales que para todo $n \geq 1,$ \[(x^2 - 4)[P_n^2(x) - 4] = [aP_{n+1}(x) + bP_n(x) + cP_{n-1}(x)]^2.\] Amir

B4 Demuestra que para todo número real $N$ la ecuación $$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} +x_{3}^{2} +x_{4}^{2} = x_1 x_2 x_3 +x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 +x_2 x_3 x_4$$ tiene una solución entera $(x_1 , x_2 , x_3 , x_4)$ para la cual $x_1, x_2 , x_3 $ y $x_4$ son todos mayores que $N.$

B5 Encuentra el mayor $a$ para el cual existe un polinomio $$P(x) =a x^4 +bx^3 +cx^2 +dx +e$$ con coeficientes reales que satisface $0\leq P(x) \leq 1$ para $-1 \leq x \leq 1.$