18:I[96096,["/_next/static/chunks/c6db19d9c5fa184a.js","/_next/static/chunks/bfe171a9b29c6141.js","/_next/static/chunks/215a462e6e3d5704.js","/_next/static/chunks/8e5a4ef2cd34cd2e.js","/_next/static/chunks/7f58f759df62ad2a.js","/_next/static/chunks/3d80c91f0baaa7e1.js","/_next/static/chunks/69017dabd5a7bdb1.js","/_next/static/chunks/16e35d7ca69704d5.js","/_next/static/chunks/1e99a352826083c0.js","/_next/static/chunks/d500812f89b1de2c.js","/_next/static/chunks/276dde09bcd6a58a.js","/_next/static/chunks/05f60f5d8542f370.js","/_next/static/chunks/a3977a4b8be0f95f.js"],"Recent"] 19:T538,Hemos dado la función ${\textstyle (1) \;\; f(x) = ax + b + \frac{9}{x}}$ , donde $a$ y $b$ son dos constantes reales. Sea $x \in[1,9]$ . Supón que ${\textstyle (2) \;\; |f(x)| < 2.}$ . Entonces por (2) $2 - (-2) > |f(9) - f(1)| = |(9a + b + 1) - (a + b + 9)| = 8|a - 1|$ lo que da ${\textstyle |a - 1| < \frac{1}{2}}$ , es decir, ${\textstyle (3) \;\; \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}}$ . De (1) obtenemos ${\textstyle (4) \;\; f’(x) = a - \frac{9}{x^2}}$ . Combinando (3) y (4) encontramos que $f’(x)=0$ si y solo si ${\textstyle x = \frac{3}{\sqrt{a}} = x_0}$ . Ahora $\sqrt{6} < x_0 < 3\sqrt{2}$ por (3), lo que significa $1 < x_0 < 9$ . Esto, junto con el hecho de que ${\textstyle f’(1) = a - 9 < 0 < a - \frac{1}{9} = f’(9)}$ (según (3) y (4)), da que $(x_0,f(x_0))$ es un punto máximo, donde ${\textstyle (5) \;\; f(x_0) = 6\sqrt{a} + b}$ . Por lo tanto, por (2) $2 - (-2) > f(x_0) - f(9) = 9a - 6\sqrt{a} + 1 = (3\sqrt{a} - 1)^2$ , lo que implica $3\sqrt{a} - 1 < 2$ por (3), es decir, $a<1$ . De manera similar, por (2) tenemos $2 - (-2) > f(x_0) - f(1) = a - 6\sqrt{a} + 9 = (3 - \sqrt{a})^2$ , lo que implica $3 - \sqrt{a} < 2$ por (3), es decir, $a > 1$ . Esta contradicción ( $a<1$ y $a>1$ ) implica que la suposición (2) es falsa. En otras palabras, existe un $x^* \in [1,9]$ tal que $|f(x^*)| \geq 2$ . q.e.d.

China Second Round Olympiad 2018 Problema 1

Problemas Recomendados

Recomendaciones