Una secuencia numérica se define de manera recursiva por $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{3}{7}$ y$$a_n=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{2a_{n-2}-a_{n-1}}$$para todo $n \geq 3$. El número $a_{2019}$ puede escribirse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de $p+q$

La secuencia $a_0,a_1,a_2,\dots$ satisface$$a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$$para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m\ge n$. Si $a_1=1$ determina $a_n$.

Se define una función sobre los enteros positivos de manera recursiva por $f(1) = 2$, $f(n) = f(n-1) + 1$ si $n$ es par, y $f(n) = f(n-2) + 2$ si $n$ es impar y mayor que $1$. ¿Cuál es el valor de $f(2017)$

Se define una secuencia recursiva por $t_1 = 20$, $t_2 = 21$, y $$t_n=\frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}$$para todo $n \ge 3$. El número $t_{2020}$ puede expresarse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos entre sí. Encuentra $p+q$.

¿Cuántas secuencias de $0$'s y $1$'s de longitud $19$ hay que comienzan con un $0$, terminan con un $0$, no contienen dos $0$s consecutivos y no contienen tres $1$s consecutivos?

Para cada número entero positivo $n$, sea $S(n)$ el número de secuencias de longitud $n$ que consisten únicamente de las letras $A$ y $B$, sin más de tres $A$'s consecutivas y sin más de tres $B$'s consecutivas. ¿Cuál es el residuo cuando $S(2015)$ se divide por $12$?

Considera secuencias que consisten enteramente de letras $A$ y $B$ y que tienen la propiedad de que cada secuencia consecutiva de $A$'s tiene longitud par, y cada secuencia consecutiva de $B$'s tiene longitud impar. Ejemplos de tales secuencias son $AA$, $B$ y $AABAA$, mientras que $BBAB$ no es una secuencia de este tipo. ¿Cuántas de estas secuencias tienen una longitud de 14?

Denominemos a un conjunto de enteros 'espacioso' si no contiene más de uno de cada tres enteros consecutivos. ¿Cuántos subconjuntos de $\{1,2,3,\ldots,12\}$, incluido el conjunto vacío, son espaciosos?

Para cada número entero positivo par $x$, sea $g(x)$ la mayor potencia de 2 que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20)=4$ y $g(16)=16.$ Para cada número entero positivo $n,$ sea $S_n=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}g(2k).$ Encuentra el mayor entero $n$ menor que 1000 tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.

Un cartero entrega correo a las diecinueve casas en el lado este de Elm Street. El cartero nota que nunca dos casas adyacentes reciben correo el mismo día, pero que nunca hay más de dos casas en fila que no reciben correo el mismo día. ¿Cuántos patrones diferentes de entrega de correo son posibles?