Una colección de 8 cubos consiste en un cubo con longitud de arista $k$ para cada número entero $k, 1 \le k \le 8.$ Se construirá una torre utilizando los 8 cubos según las siguientes reglas: 1.- Cualquier cubo puede ser el cubo inferior en la torre. 2.- El cubo inmediatamente encima de un cubo con longitud de arista $k$ debe tener una longitud de arista como máximo de $k+2.$ Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir.¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide por 1000?

Determina el residuo cuando $9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 9's}}$ es divisible por $1000$.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos $N$ satisfacen las siguientes propiedades? 1.- El número $N$ es divisible por $7$. 2.- El número formado al invertir los dígitos de $N$ es divisible por $5$.

Definimos $L_n$ como el mínimo común múltiplo de todos los enteros desde $1$ hasta $n$ inclusive. Existe un único entero $h$ tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{17}=\frac{h}{L_{17}}$$¿Cuál es el residuo cuando $h$ es dividido por 17?

La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_{9}$. ¿Cuál es el residuo de $N$ cuando es dividido por 5?

Sea $p>3$ un número primo. Pruebe que$$p^2\vert (p-1)!\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1}\right)$$

Sea $p$ un número primo. Pruebe que $(p-1)!\equiv-1\pmod p$.

Sea $a$ un entero tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$$ Determina el residuo cuando $a$ es dividido por 13.

Sea $a$ un entero impar. Pruebe que $a^{2^n}+2^{2^n}$ y $a^{2^m}+2^{2^m}$ son primos relativos para cualesquiera enteros positivos $m,n$ con $n\neq m$.

Sean $a,b,c,d$ y $n$ enteros, con $n\neq 0$. Entonces\n\n(a) $a\equiv a \pmod n$.\n\n(b) Si $a\equiv b \pmod n$ y $b\equiv c \pmod n$, entonces $a\equiv c \pmod n$.\n\n(c) Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $b\equiv a \pmod n$.\n\n(d) Si $a\equiv b \pmod n$ y $c\equiv d \pmod n$, entonces $a+c\equiv b+d \pmod n$.\n\n(e) Si $a\equiv b \pmod n$ y $c\equiv d \pmod n$, entonces $ac\equiv bd \pmod n$.\n\n(f) Si $a\equiv b \pmod n$, entonces para todo entero $k$, $ka\equiv kb \pmod n$.