Dado un entero $n\geq 2$ . Llama a un entero positivo ${T}$ Número Pingsheng, si existen subconjuntos no vacíos, a pares distintos, $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ $(m\geq 3)$ del conjunto $S=\{1,2,\cdots ,n\},$ satisfaciendo $T=\sum\limits_{i=1}^m|A_i|,$ y para $\forall p,q,r\in\{1,2,\cdots ,m\},p\neq q,q\neq r,r\neq p,$ tenemos $A_p\cap(A_q\triangle A_r)=\varnothing$ o $A_p\subseteq (A_q\triangle A_r).$ Encuentra el máximo Número Pingsheng .

En el triángulo acutángulo $ABC$ ($\triangle ABC$ no es un triángulo isósceles), $I$ es su incentro, y el círculo $ \omega$ es su círculo inscrito. $\odot\omega$ toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. $AD$ se interseca con $\odot\omega$ en $J$ ( $J\neq D$ ) , y el circuncírculo de $\triangle BCJ$ interseca a $\odot\omega$ en $K$ ( $K\neq J$ ) . Los circuncírculos de $\triangle BFK$ y $\triangle CEK$ se encuentran en $L$ ( $L\neq K$ ) . Sea $M$ el punto medio del arco mayor $BAC$ . Demuestra que $M, I, L$ son colineales.

$A$ es un subconjunto no vacío de enteros positivos. Sea $$f(A)=\{abc-b-c+2\vert a,b,c\in A\}$$ Determina todos los enteros $n$ mayores que $1$ tal que podamos dividir el conjunto de enteros positivos en $A_1, A_2, \dots, A_n$ ( $A_i\neq \emptyset (i=1, 2, \dots , n)$ , $\forall 1\le i < j \le n, A_i\cap A_j = \emptyset$ y $\bigcup_{i=1}^{n} A_i=\mathbb{N}^*$ ) tal que $\forall 1\le i\le n, f(A_i) \subseteq A_i$ .

La sucesión positiva $\{a_n\}$ satisface: $a_1=1$ y $$a_n=2+\sqrt{a_{n-1}}-2 \sqrt{1+\sqrt{a_{n-1}}}(n\geq 2)$$ Sea $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}{2^ka_k}$ . Encuentra el valor de $S_{2023}$ .

Sean $n > k$ dos números naturales y sean $a_1,\ldots,a_n$ números reales en el intervalo abierto $(k-1,k)$. Sean $x_1,\ldots,x_n$ reales positivos tales que para cualquier subconjunto $I \subset \{1,\ldots,n \}$ satisfaciendo $|I| = k$, se tiene $$\sum_{i \in I} x_i \leq \sum_{i \in I} a_i.$$ Encuentra el valor posible más grande de $x_1 x_2 \cdots x_n$.

Sea $n \geq 3$ un número impar y suponga que cada cuadrado en un tablero de ajedrez de $n \times n$ está coloreado de negro o blanco. Dos cuadrados se consideran adyacentes si son del mismo color y comparten un vértice común y dos cuadrados $a,b$ se consideran conectados si existe una secuencia de cuadrados $c_1,\ldots,c_k$ con $c_1 = a, c_k = b$ tal que $c_i, c_{i+1}$ son adyacentes para $i=1,2,\ldots,k-1$. Encuentra el número maximal $M$ tal que existe una coloración admitiendo $M$ cuadrados pairwise desconectados.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se intersecan en $P$. La circunferencia circunscrita del $\triangle APD$ se encuentra con el segmento $AB$ en los puntos $A$ y $E$. La circunferencia circunscrita del $\triangle BPC$ se encuentra con el segmento $AB$ en los puntos $B$ y $F$. Sean $I$ y $J$ los incentros de $\triangle ADE$ y $\triangle BCF$, respectivamente. Los segmentos $IJ$ y $AC$ se intersecan en $K$. Demuestra que los puntos $A,I,K,E$ son cíclicos.

Sea $q$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Demuestra que existe una constante positiva $C$ tal que para todos los números naturales $n$, se tiene $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ donde $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos y sea $$T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}$$ el cubo reticular de longitud $n$. Suponga que $3n^2 - 3n + 1 + k$ puntos de $T$ son coloreados de rojo tal que si $P$ y $Q$ son puntos rojos y $PQ$ es paralelo a uno de los ejes de coordenadas, entonces todo el segmento de línea $PQ$ consiste solo de puntos rojos. Demuestra que existe al menos $k$ cubos unitarios de longitud $1$, todos cuyos vértices son coloreados de rojo.

Sea $n$ un entero positivo. Sea $A_n$ el conjunto de primos $p$ tales que existen enteros positivos $a,b$ que satisfacen $$\frac{a+b}{p} \text{ y } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ son ambos enteros que son relativamente primos a $p$. Si $A_n$ es finito, sea $f(n)$ denota $|A_n|$. a) Demuestra que $A_n$ es finito si y solo si $n \not = 2$. b) Sean $m,k$ enteros positivos impares y sea $d$ su mcd. Demuestra que $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$$