Sean $w_1,w_2,\cdots, w_n$ y $x_1,x_2,\cdots,x_n$ secuencias de reales positivos y sea $w=w_1+w_2+\cdots +w_n$. Entonces tenemos $$\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w}\geq \sqrt[w]{x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}$$ La igualdad se da si y solo si todos los $x_i$ son iguales.

Sean $a,b,c$ reales no negativos, y $r>0$ entonces $$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0$$ La igualdad se da cuando $a=b=c$ o cuando uno de los numeros es $0$ y los otros dos iguales.\nEl caso particular de $r=1$ nos da la siguiente desigualdad: $$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$$

1.- Sea $p$ un número primo y sea $a$ un entero positivo. Entonces $φ(p^a)=p^a-p^{a-1}$.\n\n2.- Sean $a$ y $b$ enteros positivos primos relativos entre si. Entonces $φ(ab)=φ(a)φ(b)$.

Si $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ es la factorización en primos de $n>1$, entonces$$φ(n)=n\left(1-\cfrac{1}{p_1}\right) \cdots\left(1- \cfrac{1}{p_k}\right).$$

Encuentra el menor entero positivo \(n\) para el cual \(2^n + 5^n - n\) es múltiplo de \(1000\).

El número obtenido a partir de los últimos dos dígitos no nulos de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuál es el valor de $n$?

Sea \(a_1, a_2, \dots, a_{2018}\) una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que$$a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=2018^{2018}.$$¿Cuál es el residuo cuando \(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2018}^3\) es dividido por \(6\)?

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números enteros positivos. Si \(30|a+b+c\), demuestra que \(30|a^5+b^5+c^5\).

Se selecciona al azar un número entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$. ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo cuando $N^{16}$ se divide por $5$ sea $1$?

Una función $f$ se define de manera recursiva por $f(1)=f(2)=1$ y$$f(n)=f(n−1)−f(n−2)+n$$para todo $n \geq 3$. ¿Cuál es el valor de $f(2018)$?