Para cada número entero positivo par $x$, sea $g(x)$ la mayor potencia de 2 que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20)=4$ y $g(16)=16.$ Para cada número entero positivo $n,$ sea $S_n=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}g(2k).$ Encuentra el mayor entero $n$ menor que 1000 tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.