Un rectángulo \(\mathcal{R}\) con longitudes laterales enteras e impares está dividido en rectángulos más pequeños con longitudes laterales enteras. Demuestra que hay al menos uno entre los rectángulos más pequeños cuyas distancias desde los cuatro lados de \(\mathcal{R}\) son todas impares o todas pares.\n

Sean $A$ y $B$ conjuntos ajenos tales que su unión es el conjunto de los enteros positivos. Prueba que para todo entero positivo $n$ existen enteros distintos $a,b>n$ tales que $\{a,b,a+b\}\in A$ o $\{a,b,a+b\}\in B$.

Sea \(T = \{9^k : k \ \text{es un entero}, 0 \le k \le 4000\}\). Dado que \(9^{4000}\) tiene 3817 dígitos y que su primer dígito (más a la izquierda) es 9, ¿cuántos elementos de \(T\) tienen 9 como su primer dígito?

En un grupo de nueve personas, cada persona se estrecha la mano exactamente con otras dos personas del grupo. Sea \(N\) el número de formas en que se pueden dar estos apretones de manos. Considera dos arreglos de apretones de manos diferentes si y solo si al menos dos personas que se dan la mano en un arreglo no se dan la mano en el otro arreglo. Encuentra el residuo cuando \(N\) se divide por \(1000\).

Supongamos que $n$ personas conocen exactamente una pieza de información, y las $n$ piezas son diferentes. Cada vez que la persona $A$ llama a la persona $B$, $A$ le cuenta a $B$ todo lo que $A$ sabe, mientras que $B$ no le cuenta nada a $A$. ¿Cuál es el número mínimo de llamadas telefónicas entre pares de personas necesarias para que todos sepan todo?

En una competición de matemáticas hay $90$ concursantes. Cada concursante se hace amigo de al menos $60$ concursantes. Uno de los concursantes, Amin, afirma que al menos cuatro concursantes tienen la misma cantidad de nuevos amigos. Demuestra o refuta su afirmación.

Considera los números reales $x_0>x_1>x_2>\cdots>x_n$. Pruebe que$$x_0+\frac{1}{x_0-x_1}+\frac{1}{x_1-x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{n-1}-x_n}\geq x_n+2n.$$¿Cuándo se cumple la igualdad?

Dado un entero positivo $n$, encuentra todos los enteros $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$$(1): a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n^2$$$$(2):a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\leq n^3+1$$

Demuestra que para cualesquiera números reales positivos \(x\), \(y\), se cumple\[\frac {1}{(1 + \sqrt {x})^{2}} + \frac {1}{(1 + \sqrt {y})^{2}} \ge \frac {2}{x + y + 2}.\]\n

Sean \(a, b,\) y \(c\) números reales tales que\[a+b+c=2, \text{ y}\]\[a^2+b^2+c^2=12\]¿Cuál es la diferencia entre los valores máximos y mínimos posibles de \(c\)?