Sea $R[x]$ el conjunto de todos los polinomios de coeficientes reales, y define la aplicación $T: R[x] \to R[x]$ como sigue: Para $$f (x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n- 1} +...+ a_1x + a_0,$$ sea $$T(f(x))=a_{n}x^{n+1} + a_{n-1}x^{n} + (a_n+a_{n-2})x^{n-1 } + (a_{n-1}+a_{n-3})x^{n-2}+...+(a_2+a_0)x+a_1.$$ Asume $P_0(x)= 1$ , $P_n(x) = T(P_{n-1}(x))$ ( $n=1,2,...$ ) , encuentra el término constante de $P_n(x)$ .

Como se muestra en la figura, en $\vartriangle ABC$ , $AB>AC$ , el círculo inscrito $I$ es tangente a los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ respectivamente, y las líneas rectas $BC$ y $EF$ se intersecan en el punto $K$ , $DG \perp EF$ en el punto $G$ , el rayo $IG$ interseca el círculo circunscrito de $\vartriangle ABC$ en el punto $H$ . Demuestra que los puntos $H$ , $G$ , $D$ , $K$ se encuentran en un círculo.

Encuentra el número real más grande $c$ , tal que para cualquier entero $s>1$ , y enteros positivos $m, n$ coprimos con $s$ , tenemos $$ \sum_{j=1}^{s-1} \{ \frac{jm}{s} \}(1 - \{ \frac{jm}{s} \})\{ \frac{jn}{s} \}(1 - \{ \frac{jn}{s} \}) \ge cs$$ donde $\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor $ .

En $\triangle {ABC}$ , ${D}$ está en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ y $\angle ADB=\angle ACD$ . $E, F$ están en la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ , tal que $AE=BE$ y $AF=CF$ . Los circuncírculos de $\triangle ACE$ y $\triangle ABF$ se intersecan en ${A}$ y ${K}$ y $A'$ es la reflexión de ${A}$ con respecto a $BC$ . Demuestra que: si $AD=BC$ , entonces el circuncentro de $\triangle AKA'$ está en la línea $AD$ .

Para un conjunto no vacío y finito de números complejos $A$ , define la 'raíz de Tao' de $A$ como $\left|\sum_{z\in A} z \right|$ . Dado el entero $n\ge 3$ , sea el conjunto $$U_n = \{\cos\frac{2k \pi}{n}+ i\sin\frac{2k \pi}{n}|k=0,1,...,n-1\}.$$ Sea $a_n$ el número de subconjuntos no vacíos en los que la raíz de Tao de $U_n$ es $0$ , $b_n$ es el número de subconjuntos no vacíos de $U_n$ cuya raíz de Tao es $1$ . Compara los tamaños de $na_n$ y $2b_n$ .

Sea $a, b>0$ . Demuestra que: $$ (a^3+b^3+a^3b^3)(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{a^3b^3} ) +27 \ge 6(a+b+\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{a}{b} +\frac{b}{a}) $$

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ $(n \ge 2)$ con coeficientes enteros. Si hay infinitos enteros positivos $m$ , tal que $p(m)$ a lo sumo $n -1$ factores primos diferentes $f$ , demuestre que $p(x)$ tiene a lo sumo $n-1$ raíces racionales diferentes.

El entero positivo $S$ se llama un 'número de línea', si existe un entero positivo $n$ y $2n$ enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , ... , $a_n$ , $b_1$ , $b_2$ , ... , $b_n$ , tal que $S = \sum^n_{i=1} a_ib_i$ , $\sum^n_{i=1} (a_i^2-b_1^2)=1$ , y $\sum^n_{i=1} (a_i+b_i)=2023$ , encuentra: (1) El valor mínimo de los números de línea. (2) El valor máximo de los números de línea.

Sea $a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_n >0 .$ Demuestra que $$ \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)^2\geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k(2k-1)}{a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_k}$$

Sea $AB$ una cuerda del semicírculo $O$ (no el diámetro). $M$ es el punto medio de $AB$ , y $D$ es un punto que se encuentra en la línea $OM$ ( $D$ está fuera del semicírculo $O$ ) . La línea $l$ pasa por $D$ y es paralela a $AB$ . $P, Q$ son dos puntos que se encuentran en $l$ y $PO$ se encuentra con el semicírculo $O$ en $C$ . Si $\angle PCD=\angle DMC$ , y $M$ es el ortocentro de $\triangle OPQ$ . Demuestra que la intersección de $AQ$ y $PB$ se encuentra en el semicírculo $O$ .