Sean \(x,y,z\) números reales positivos tales que \(xy+yz+xz=3xyz\). Demuestra que \[ x^2y+y^2z+z^2x \ge 2(x+y+z)-3 \] y determina cuándo se da la igualdad. UK - David Monk

10 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Junto a la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se introduce en la caja una bola negra de la pila. Si tienen colores distintos, la bola blanca se devuelve a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las dos últimas bolas de la caja y se introduce una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir

12 En el plano se dan cuatro circunferencias distintas $C,C_1, C_2$ , C3 y una recta L tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada una de las circunferencias $C_1, C_2, C_3$ toca a las otras dos, así como a $C$ y $L$ . Suponiendo que el radio de $C$ es $1$ , determine la distancia entre su centro y $L.$ Amir

1 Halle todos los pares de enteros positivos $ (a,b)$ tales que $ a^2 + b - 1$ es una potencia de un número primo $ ; a^2 + b + 1$ puede dividir a $ b^2 - a^3 - 1,$ pero no puede dividir a $ (a + b - 1)^2.$ Fang-jh

13 Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde la circunferencia inscrita del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denote por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $A_{i}$ . Demuestre que las rectas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

14 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo del plano y sea $A_1$ el circuncentro de $\triangle BCD$ . Defina $B_1, C_1,D_1$ de manera correspondiente. (a) Demuestre que o bien todos los puntos $A_1,B_1, C_1,D_1$ coinciden en un solo punto, o bien son todos distintos. Suponiendo este último caso, muestre que $A_1$ , C1 están en lados opuestos de la recta $B_1D_1$ , y análogamente, $ B_1,D_1$ están en lados opuestos de la recta $A_1C_1$ . (Esto establece la convexidad del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ . ) (b) Denote por $A_2$ el circuncentro de $B_1C_1D_1$ , y defina $B_2, C_2,D_2$ de manera análoga. Muestre que el cuadrilátero $A_2B_2C_2D_2$ es semejante al cuadrilátero $ABCD.$ Amir

16 Demuestre que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Muestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

17 Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$ , y además tenemos $ \angle CAB = \angle C_1AB_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$ . Demuestre que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares. Amir

2 Sea $ k$ un entero positivo. Un conjunto $ A \subseteq \mathbb{Z}$ se llama $ \textbf{k - set}$ si existen $ x_1, x_2, \cdots, x_k \in \mathbb{Z}$ tales que para cualesquiera $ i \neq j$ , $ (x_i + A) \cap (x_j + A) = \emptyset$ , donde $ x + A = \{ x + a \mid a \in A \}$ . Demuestre que si $ A_i$ es un $ \textbf{k}_i\textbf{ - set}$ ( $ i = 1,2, \cdots, t$ ) , y $ A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_t = \mathbb{Z}$ , entonces $ \displaystyle \frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2} + \cdots + \frac {1}{k_t} \geq 1$ .

78 La sucesión $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestre que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$ Amir