Para cualquier entero positivo $n $, sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?

6 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se encuentran sobre los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que $\angle ABD = \angle DBC$ y $\angle ACE = \angle ECB$ . Los segmentos $BD$ y $CE$ se cortan en $I$ . Determine si es posible o no que los segmentos $AB$ , $AC$ , $BI$ , $ID$ , $CI$ , $IE$ tengan todos longitudes enteras.

Un círculo grande está inscrito en un rombo, y cada uno de dos círculos más pequeños toca dos lados del rombo y al círculo grande como se muestra en la figura de la derecha. Demuestre que las cuatro líneas discontinuas que unen los puntos donde los círculos tocan al rombo, como se muestra en la figura, forman un cuadrado.

Sea $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una función arbitraria. Demuestre que existen dos enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen $f(x+y) \le f(2x+f(y))$ . (Propuesto por David Anghel, Rumania)

5 Se dice que dos permutaciones $a_1,a_2,\dots,a_{2010}$ y $b_1,b_2,\dots,b_{2010}$ de los números $1,2,\dots,2010$ se intersecan si $a_k=b_k$ para algún valor de $k$ en el rango $1\le k\le 2010$ . Demuestre que existen $1006$ permutaciones de los números $1,2,\dots,2010$ tales que cualquier otra permutación de este tipo está garantizada a intersecar al menos una de estas $1006$ permutaciones.

1 En el triángulo \(ABC\) , sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) . Prolongue \(AD\) hasta cortar la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) en el punto \(P\) . Por los puntos \(B\) y \(P\) , construya una circunferencia que sea tangente al lado \(AC\) en el punto \(E\) . Por los puntos \(C\) y \(P\) , construya una circunferencia que sea tangente al lado \(AB\) en el punto \(F\) . Demuestre que las rectas \(AD\) , \(BE\) y \(CF\) son concurrentes.

5 Sea \( K \) el punto medio del lado \( AB \) de un triángulo dado \( ABC \). Sean \( L \) y \( M \) puntos en los lados \( AC \) y \( BC \), respectivamente, tales que \( \angle CLK = \angle KMC \). Demuestra que las perpendiculares a los lados \( AB, AC \) y \( BC \) que pasan por \( K, L \) y \( M \), respectivamente, son concurrentes.

4 Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $, sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determina el valor promedio de $ f( \pi) $ sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $.

3 Sea $ n $ un entero positivo. Considera palabras de longitud $n$ compuestas por letras del conjunto $ \{ M, E, O \} $ . Sea $ a $ el número de tales palabras que contienen un número par (posiblemente 0) de bloques $ ME $ y un número par (posiblemente 0) de bloques $ MO $ . De manera similar, sea $ b $ el número de tales palabras que contienen un número impar de bloques $ ME $ y un número impar de bloques $ MO $ . Demuestra que $ a>b $ .

4 Un triángulo se llama triángulo parabólico si sus vértices se encuentran sobre una parábola $y = x^2$ . Demuestre que para todo entero no negativo $n$ , existe un número impar $m$ y un triángulo parabólico con vértices en tres puntos distintos de coordenadas enteras con área $(2^nm)^2$ .