5 En una fiesta con $99$ invitados, los anfitriones Ann y Bob juegan un juego (los anfitriones no se consideran invitados). Hay $99$ sillas dispuestas en un círculo; inicialmente, todos los invitados están de pie alrededor de esas sillas. Los anfitriones turnan alternadamente. En un turno, un anfitrión ordena a cualquier invitado que esté de pie sentarse en una silla desocupada $c$. Si alguna silla adyacente a $c$ ya está ocupada, el mismo anfitrión ordena a un invitado en tal silla que se levante (si ambas sillas adyacentes a $c$ están ocupadas, el anfitrión elige exactamente una de ellas). Todas las órdenes se ejecutan de inmediato. Ann hace el primer movimiento; su meta es lograr, después de algún movimiento suyo, que al menos $k$ sillas estén ocupadas. Determina el mayor $k$ para el cual Ann puede alcanzar la meta, sin importar cómo juegue Bob.

Sean $A{}$ y $B{}$ matrices $3\times 3{}$ con entradas complejas, que satisfacen $A^2=B^2=O_3$ . Demuestre que si $A{}$ y $B{}$ conmutan, entonces $AB=O_3$ . ¿Es cierto el recíproco?

C7 Considere $2018$ círculos que se cruzan por pares, sin tres de ellos concurrentes. Estos círculos subdividen el plano en regiones acotadas por $edges$ circulares que se encuentran en $vertices$ . Observe que hay un número par de vértices en cada círculo. Dado el círculo, coloree alternadamente los vértices de ese círculo de rojo y azul. Al hacer esto para cada círculo, cada vértice es coloreado dos veces: una vez por cada uno de los dos círculos que se cruzan en ese punto. Si los dos colores coinciden en un vértice, entonces se le asigna ese color; en caso contrario, se vuelve amarillo. Muestre que, si algún círculo contiene al menos $2061$ puntos amarillos, entonces los vértices de alguna región son todos amarillos. Propuesto por India

4 Determine el menor entero positivo $A$ con un número impar de cifras y con la propiedad de que tanto $A$ como el número $B$ obtenido al eliminar la cifra central del número $A$ son divisibles por $2018$ .

4 Para enteros positivos $n, m$ defina $f(n,m)$ como sigue. Escriba una lista de $ 2001$ números $a_i$ , donde $a_1 = m$ , y $a_{k+1}$ es el residuo de $a_k^2$ $mod \, n$ (para $k = 1, 2,..., 2000$ ) . Luego ponga $f(n,m) = a_1-a_2 + a_3 -a_4 + a_5- ... + a_{2001}$ . ¿Para qué $n \ge 5$ podemos encontrar m tal que $2 \le m \le n/2$ y $f(m,n) > 0$ ?

3 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. $M$ es el punto medio de $CD$ . Las diagonales se cortan en $P$ . La circunferencia que pasa por $P$ y es tangente a $CD$ en $M$ corta de nuevo a $AC$ en $R$ y a $BD$ de nuevo en $Q$ . El punto $S$ sobre $BD$ es tal que $BS = DQ$ . La recta que pasa por $S$ paralela a $AB$ corta a $AC$ en $T$ . Demuestre que $AT = RC$ .

4 Una sucesión de enteros $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ se define como sigue: $ a_{1} = 1$ y, para $ n\geq 1$ , $ a_{n + 1}$ es el menor entero mayor que $ a_{n}$ tal que $ a_{i} + a_{j}\neq 3a_{k}$ para cualesquiera $ i,j$ y $ k$ en $ \{1,2,3,\ldots ,n + 1\}$ , no necesariamente distintos. Determine $ a_{1998}$ .

G3 Se da un círculo $\omega$ con radio $1$ . Una colección $T$ de triángulos se llama buena , si se cumplen las siguientes condiciones: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$ ; no hay dos triángulos de $T$ que tengan un punto interior común. Determine todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$ , exista una buena colección de $n$ triángulos, cada uno de perímetro mayor que $t$ .

13. El triángulo \(ABC\) tiene \(AB=9\) y \(BC: AC=40: 41\). ¿Cuál es el área más grande que puede tener este triángulo?

29 Sean $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ triángulos acutángulos. Describa y demuestre cómo construir el triángulo $ABC$ con la mayor área posible que está circunscrito a $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contiene a $B_0, CA$ contiene a $B_0$ , y $AB$ contiene a $C_0$ ) y es semejante a $A_1B_1C_1.$