20 Dados el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$ determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$ Amir

6 Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ números reales no negativos tales que $ a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_{100} = 1.$ Demuestre que \[ a^2_1 \cdot a_2 + a^2_2 \cdot a_3 + \ldots + a^2_{100} \cdot a_1 < \frac {12}{25}. \] Autor: Marcin Kuzma, Polonia

7 Sea $ n$ un entero positivo. Considere \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] como un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determine el menor número posible de planos cuya unión contenga a $ S$ pero no incluya a $ (0,0,0)$ . Autor: Gerhard Wöginger, Netherlands Valentin

1 Sea $ n > 1$ un entero. Halle todas las sucesiones $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ for all } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ for all } 0 \leq i \leq n^2 - n. \] Autor: Dusan Dukic, Serbia

2 Un rectángulo $ D$ está particionado en varios ( $ \ge2$ ) rectángulos con lados paralelos a los de $ D$ . Dado que cualquier recta paralela a uno de los lados de $ D$ , y que tenga puntos comunes con el interior de $ D$ , también tiene puntos interiores comunes con el interior de al menos un rectángulo de la partición; demuestre que hay al menos un rectángulo de la partición que no tiene puntos comunes con la frontera de $ D$ . Autor: Kei Irie, Japan

3 Halle todos los enteros positivos $ n$ para los cuales los números del conjunto $ S = \{1,2, \ldots,n \}$ pueden colorearse de rojo y azul, satisfaciéndose la siguiente condición: El conjunto $ S \times S \times S$ contiene exactamente $ 2007$ ternas ordenadas $ \left(x, y, z\right)$ tales que: (i) los números $ x$ , $ y$ , $ z$ son del mismo color, y (ii) el número $ x + y + z$ es divisible por $ n$ . Autor: Gerhard Wöginger, Netherlands

4 Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una sucesión finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , a partir de la sucesión $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva sucesión $ A_{k + 1}$ del siguiente modo. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcance el menor valor. (Permitimos que $ I$ o $ J$ sea vacío; en tal caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias particiones de este tipo, se elige una arbitrariamente. 2. Definimos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demuestre que para algún $ k$ , la sucesión $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ . Autor: Omid Hatami, Iran Omid

5 En el plano cartesiano defina las bandas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ , $ n\in\mathbb{Z}$ y coloree cada banda de negro o de blanco. Demuestre que cualquier rectángulo que no sea un cuadrado puede colocarse en el plano de modo que sus vértices tengan el mismo color. Problema C5 de la IMO Shortlist 2007 tal como aparece en el folleto oficial: En el plano cartesiano defina las bandas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ para todo entero $ n.$ Suponga que cada banda $ S_n$ está coloreada de rojo o de azul, y sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un rectángulo con lados de longitudes $ a$ y $ b$ tal que sus vértices tengan el mismo color. ( Editado por Orlando Döhring ) Autor: Radu Gologan and Dan Schwarz, Romania

2 Supongamos que tenemos un mazo de $2n$ cartas, en el orden $1, 2, . . . , 2n$ . Un barajado perfecto de estas cartas cambia el orden a $n+1, 1, n+2, 2, . . ., n- 1, 2n, n$ ; es decir, las cartas que estaban originalmente en las primeras $n$ posiciones se han movido a los lugares $2, 4, . . . , 2n$ , mientras que las $n$ cartas restantes, en su orden original, ocupan las posiciones impares $1, 3, . . . , 2n - 1.$ Supongamos que comenzamos con las cartas en el orden anterior $1, 2, . . . , 2n$ y luego aplicamos sucesivamente barajados perfectos. ¿Qué condiciones sobre el número $n$ son necesarias para que las cartas finalmente vuelvan a su orden original? Justifique su respuesta. Observación Observación. Este problema es trivial. Alternativamente, puede pedirse encontrar el menor número de barajados después del cual las cartas volverán al orden original. Amir

48 En un país dado, todos los habitantes son caballeros o bribones. Un caballero nunca miente; un bribón siempre miente. Nos encontramos con tres personas, $A, B$ y $C$ . La persona $A$ dice: “Si $C$ es un caballero, $B$ es un bribón.” La persona $C$ dice: “ $A$ y yo somos diferentes; uno es un caballero y el otro es un bribón.” ¿Quiénes son los caballeros y quiénes son los bribones ? Amir