$\triangle ABC$ es un triángulo acutángulo y su ortocentro es $H$. La circunferencia circunscrita de $\triangle ABH$ intersecta la línea $BC$ en $D$. Las líneas $DH$ y $AC$ se encuentran en $P$, y el circuncentro de $\triangle ADP$ es $Q$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle ABH$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\triangle BDQ$.

Hay al menos $3$ estaciones de metro en una ciudad. En esta ciudad, existe una ruta que pasa por más de $L$ estaciones de metro, sin volver a visitar. Los metros funcionan en ambos sentidos, lo que significa que si se puede ir de la estación de metro A a B, también se puede ir de B a A. Demuestra que al menos una de las dos se cumple. $\text{(i)}$ . Existe tres estaciones de metro $A$ , $B$ , $C$ tales que no existe una ruta de $A$ a $B$ que no pase por $C$ . $\text{(ii)}$ . Hay un ciclo que pasa por al menos $\lfloor \sqrt{2L} \rfloor$ estaciones, sin volver a visitar la misma estación más de una vez.

En un triángulo $\triangle ABC$ con incentro $I$, la circunferencia inscrita se encuentra con las líneas $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. Define el circuncentro de $\triangle IAB$ y $\triangle IAC$ como $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Sean las dos intersecciones de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ y la línea $EF$ como $P, Q$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle DPQ$ se encuentra en la línea $O_1O_2$.

Encuentra todas las funciones $f: R \rightarrow R$ tales que $f(x^{2015} + (f(y))^{2015}) = (f(x))^{2015} + y^{2015}$ se cumple para todos los reales $x, y$.

Hay un tablero de ajedrez de $n\times n$. Cada casilla tiene un número entre $0$ y $k$. Hay un botón para cada fila y columna, el cual incrementa el número de $n$ números de la fila o columna que el botón representa (si el número de la casilla es $k$, entonces se convierte en $0$). Si cierto botón es presionado, llámalo 'operación'. Y tenemos un tablero de ajedrez el cual está lleno con 0 (para todas las casillas). Después de algunas 'operaciones', los números de las casillas son diferentes ahora. Demuestra que podemos hacer que todos los números sean $0$ dentro de $kn$ 'operaciones'.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo $O$. Sean $AB\cap CD=E$ y $P\in BC, EP\perp BC$ , $R\in AD, ER\perp AD$ , $EP\cap AD=Q, ER\cap BC=S$. Sea $K$ el punto medio de $QS$. Demuestra que $E, K, O$ son colineales.

Para cualquier entero positivo $m\ge2$ define $A_m=\{m+1, 3m+2, 5m+3, 7m+4, \ldots, (2k-1)m + k, \ldots\}$ . (1) Para cada $m\ge2$ , demuestre que existe un entero positivo $a$ que satisface $1\le a<m$ y $2^a\in A_m$ o $2^a+1\in A_m$ . (2) Para un cierto $m\ge2$ , sean $a, b$ enteros positivos que satisfacen $2^a\in A_m$ , $2^b+1\in A_m$ . Sean $a_0, b_0$ el menor par de tales $a, b$ . Encuentra la relación entre $a_0$ y $b_0$ .

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente: $f(1)=2008$ , $|{f(x)}| \le x^2+1004^2$ , $f\left (x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right )=f\left (x+\frac{1}{y}\right )+f\left (y+\frac{1}{x}\right ).$

Encuentra todos los polinomios enteros $f$ tales que existan infinitos pares de números naturales primos relativos $(a,b)$ tales que $a+b \mid f(a)+f(b)$.

El hexágono $ABCDEF$ está inscrito en un círculo $O$. Sean $BD \cap CF = G, AC \cap BE = H, AD \cap CE = I$. Se satisfacen las siguientes condiciones: $BD \perp CF , CI=AI$. Demuestra que $CH=AH+DE$ es equivalente a $GH \times BD = BC \times DE$.