Hay $n$ puntos distintos en una circunferencia. Elige uno de los puntos. Conecta este punto y el punto $m$-ésimo desde el punto elegido en sentido antihorario con un segmento. Conecta este punto $m$-ésimo y el punto $m$-ésimo desde este punto $m$-ésimo en sentido antihorario con un segmento. Repite tales pasos hasta que no se construya ningún segmento nuevo. De las intersecciones de los segmentos, sea el número de las intersecciones - que están en el círculo - sea $I$. Responde a las siguientes preguntas ($m$ y $n$ son enteros positivos que son relativamente primos y satisfacen $6 \leq 2m < n$). 1) Cuando los $n$ puntos toman diferentes posiciones, expresa el valor máximo de $I$ en términos de $m$ y $n$. 2) Demuestra que $I \geq n$. Demuestra que hay un caso, que es $I=n$, cuando $m=3$ y $n$ es un número par arbitrario que satisface la condición.

Para un entero positivo, $m$, responde a las siguientes preguntas. 1) Demuestra que $2^{m+1}+1$ es un número primo, cuando $2^{m+1}+1$ es un factor de $3^{2^m}+1$. 2) ¿Es cierto el converso de 1)?

Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos donde la circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Demuestra la desigualdad $\frac{BC} {PQ} + \frac{CA} {QR} + \frac{AB} {RP} \geq 6$.

Demuestra que la ecuación, $2x^4+2x^2y^2+y^4=z^2$, no tiene solución entera cuando $x \neq 0$.

Sea $M$ la intersección de dos diagonales, $AC$ y $BD$, de un rombo $ABCD$, donde el ángulo $A<90^\circ$. Construye $O$ en el segmento $MC$ de modo que $OB<OC$ y sea $t=\frac{MA}{MO}$, siempre que $O \neq M$. Construye un círculo que tenga a $O$ como centro y que pase por $B$ y $D$. Sean las intersecciones entre el círculo y $AB$ sean $B$ y $X$. Sean las intersecciones entre el círculo y $BC$ sean $B$ y $Y$. Sean las intersecciones de $AC$ con $DX$ y $DY$ sean $P$ y $Q$, respectivamente. Expresa $\frac{OQ}{OP}$ en términos de $t$.

Algunas computadoras de una sala de computadoras tienen la siguiente red. Cada computadora está conectada por tres cables a tres computadoras. Dos computadoras arbitrarias pueden intercambiar datos directa o indirectamente (a través de otras computadoras). Ahora, eliminemos $K$ computadoras para que haya dos computadoras que no puedan intercambiar datos, o quede una computadora. Sea $k$ el valor mínimo de $K$. Eliminemos $L$ cables de la red original para que haya dos computadoras que no puedan intercambiar datos. Sea $l$ el valor mínimo de $L$. Demuestra que $k=l$.

Para un entero positivo $n$ , hay una escuela con $2n$ personas. Para un conjunto $X$ de estudiantes en esta escuela, si dos estudiantes cualesquiera en $X$ se conocen, llamamos a $X$ bien formado . Si el número máximo de estudiantes en un conjunto bien formado no es más de $n$ , encuentre el número máximo de conjuntos bien formados. Aquí, un conjunto vacío y un conjunto con un estudiante también se consideran bien formados.

Encuentre todos los números reales $c$ tales que existe una función $f: \mathbb{R}_{ \ge 0} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface lo siguiente. Para todos los números reales no negativos $x, y$ , $f(x+y^2) \ge cf(x)+y$ . Aquí $\mathbb{R}_{\ge 0}$ es el conjunto de todos los números reales no negativos.

En un cuadrilátero $ABCD$ , tenemos $\angle ACB = \angle ADB = 90$ y $CD < BC$ . Denotemos $E$ como la intersección de $AC$ y $BD$ , y sea la bisectriz perpendicular de $BD$ que se encuentra con $BC$ en $F$ . El círculo con centro $F$ que pasa por $B$ se encuentra con $AB$ en $P (\neq B)$ y $AC$ en $Q$ . Sea $M$ el punto medio de $EP$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $EPQ$ es tangente a $AB$ si y solo si $B, M, Q$ son colineales.

Dado un número primo $p$ , demuestre que existen dos enteros $a, b$ que satisfacen lo siguiente. Para todos los enteros $m$ , $m^3+ 2017am+b$ no es un múltiplo de $p$ .