Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que\n$$f(f(x)^2 + |y|) = x^2 + f(y)$$

Dado un número natural $n$. Para todas las tripletas de enteros $(a,b,c)$ tales que $0 < |a| , |b|, |c| < 2023$ y que satisfacen la siguiente igualdad, demuestre que el producto de todos los posibles enteros $a$ es un cuadrado perfecto. (El valor de $a$ permite la duplicación)\n$$(a+nb)(a-nc) + abc = 0$$

Una secuencia $\{x_n \}=x_0, x_1, x_2, \cdots $ satisface $x_0=a(1\le a \le 2019, a \in \mathbb{R})$ , y $$x_{n+1}=\begin{cases}1+1009x_n &\ (x_n \le 2) \\ 2021-x_n &\ (2<x_n \le 1010) \\ 3031-2x_n &\ (1010<x\le 1011) \\ 2020-x_n &\ (1011<x_n) \end{cases}$$ para cada entero no negativo $n$ . Si existe algún entero $k>1$ tal que $x_k=a$ , llama a tal mínimo $k$ un período fundamental de $\{x_n \}$ . Encuentra todos los enteros que pueden ser un período fundamental de alguna secuencia; y para tal período impar mínimo $k(>1)$ , encuentra todos los valores de $x_0=a$ tales que el período fundamental de $\{x_n \}$ es igual a $k$ .

Encuentra todos los pares $(p,q)$ tales que la ecuación $$x^4+2px^2+qx+p^2-36=0$$ tiene exactamente $4$ raíces enteras (contando multiplicidad).

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con ortocentro $H$ . El pie de la perpendicular de $A$ a $BC$ es $O$ , y denotemos $K,L$ por los puntos medios de $AB, AC$ , respectivamente. Para un punto $D(\neq O,B,C)$ en el segmento $BC$ , sean $E,F$ los ortocentros de los triángulos $ABD, ACD$ , respectivamente, y denotemos $M,N$ por los puntos medios de $DE,DF$ . La línea perpendicular de $M$ a $KH$ corta la línea perpendicular de $N$ a $LH$ en $P$ . Si $Q$ es el punto medio de $EF$ , y $S$ es el ortocentro del triángulo $HPQ$ , entonces pruebe que cuando $D$ varía en $BC$ , la razón $\frac{OS}{OH}$ , $\frac{OQ}{OP}$ permanece constante.

Prueba que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que la secuencia $\{x_n\}$ que satisface $$ x_1=1, x_2=k+2, x_{n+2}-(k+1)x_{n+1}+x_n=0(n \ge 0)$$ no contiene ningún número primo.

Para un rectángulo $ABCD$ que no es un cuadrado, existe $O$ tal que $O$ está en la bisectriz perpendicular de $BD$ y $O$ está en el interior de $\triangle BCD$ . Denotemos por $E$ y $F$ las segundas intersecciones del círculo centrado en $O$ que pasa por $B, D$ y $AB, AD$ . $BF$ y $DE$ se encuentran en $G$ , y $X, Y, Z$ son los pies de las perpendiculares desde $G$ a $AB, BD, DA$ . $L, M, N$ son los pies de las perpendiculares desde $O$ a $CD, BD, BC$ . $XY$ y $ML$ se encuentran en $P$ , $YZ$ y $MN$ se encuentran en $Q$ . Pruebe que $BP$ y $DQ$ son paralelos.

Hay $n$ cartas tales que para cada $i=1,2, \cdots n$ , hay exactamente una carta etiquetada con $i$ . Inicialmente las cartas están apiladas en orden creciente de arriba a abajo. Hay dos operaciones: $A$ : Uno puede tomar la carta superior de la pila y moverla al fondo; $B$ : Uno puede quitar la carta superior de la pila. La operación $ABBABBABBABB \cdots $ se repite hasta que sólo queda una carta. Sea $L(n)$ el número etiquetado en la pila final. Encuentra todos los enteros $k$ tales que $L(3k)=k$ .

Hay $2015$ círculos distintos en un plano, con radio $1$. Demuestra que puedes seleccionar $27$ círculos, que forman un conjunto $C$, que satisfacen lo siguiente. Para dos círculos arbitrarios en $C$, se intersectan entre sí o Para dos círculos arbitrarios en $C$, no se intersectan entre sí.

Para un entero positivo fijo $k$, hay dos secuencias $A_n$ y $B_n$. Se definen inductivamente, por las siguientes recurrencias. $A_1 = k$ , $A_2 = k$ , $A_{n+2} = A_{n}A_{n+1}$ $B_1 = 1$ , $B_2 = k$ , $B_{n+2} = \frac{B^3_{n+1}+1}{B_{n}}$ Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ , $A_{2n}B_{n+3}$ es un entero.