Sean $a,b$ enteros positivos y $p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$ sea un número primo. Encuentre el valor máximo de $p$ y justifique su respuesta.

En el triángulo $ABC$, los ángulos $B,C$ son agudos. El punto $D$ está en el lado $BC$ tal que $AD\perp{BC}$. Sean las bisectrices interiores de $\angle B,\angle C$ se encuentran con $AD$ en $E,F$, respectivamente. Si $BE=CF$, pruebe que $ABC$ es isósceles.

Sean $x_1,x_2,x_3,x_4$ números reales positivos tales que $x_1x_2x_3x_4=1$. Pruebe que: $\sum_{i=1}^{4}{x_i^3}\geq\max\{ \sum_{i=1}^{4}{x_i},\sum_{i=1}^{4}{\frac{1}{x_i}} \}$.

Tenemos una tabla de $n\times n$ y hemos escrito números $0,+1 \ or \ -1$ en cada cuadrado de $1\times1$ de tal manera que en cada fila o columna, solo hay un $+1$ y un $-1$. Demuestre que intercambiando las filas entre sí y las columnas entre sí finitamente, podemos intercambiar los $+1$ con los $-1$.

Sean los segmentos $KN,KL$ tangentes al círculo $C$ en los puntos $N,L$, respectivamente. $M$ es un punto en la extensión del segmento $KN$ y $P$ es el otro punto de encuentro del círculo $C$ y el circuncírculo de $\triangle KLM$. $Q$ está en $ML$ tal que $NQ$ es perpendicular a $ML$. Pruebe que $\angle MPQ=2\angle KML$.

Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Pruebe que $x-y$ es un cuadrado perfecto.

Tenemos borradores, cuatro lápices, dos cuadernos y tres bolígrafos y queremos dividirlos entre dos personas para que cada uno reciba al menos uno de los artículos de papelería anteriores. ¿De cuántas maneras es esto posible? [Tenga en cuenta que no son distintos.]

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número $1!+2!+3!+\cdots+n!$ es una potencia perfecta de un entero.

Demuestra que \[\arctan \frac 12 +\arctan \frac 13 = \frac{\pi}{4}.\]

En un trapecio $ABCD$ , los lados $AB$ y $CD$ se encuentran en $M$ y las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en $N.$ Sea $AC=a$ y $BC=b.$ Encuentra el área de los triángulos $AMD$ y $AND$ en términos de $a$ y $b.$