En la figura se tiene un hexágono regular $ABCDEF$ de lado $2$ y $P$ es la intersección de $AC$ con $BD$. Determinar el área del triángulo $BCP$ [image].

Determinar cuántos tableros distintos podemos conseguir a partir del tablero que se muestra a la derecha si se puede ejecutar la siguiente operación tantas veces como se desee: Escoger dos casillas que compartan un lado y cambiarle a cada una el color que tiene en ese momento: si es blanca pintarla de gris, y si es gris ponerla blanca. [En la figura de abajo se muestran cuatro cambios sucesivos permitidos; cada vez se ha marcado con un segmento los cuadros vecinos que se cambiaron en ese paso.] [image].

En el plano están dibujadas algunas líneas rectas. La línea $a$ intersecta exactamente otras $3$; la recta $b$ intersecta exactamente $4$ de las rectas; la recta $c$ intersecta un número de rectas distinto de $3$ y de $4$. ¿Cuántas rectas hay? (Nota: Las líneas rectas se extienden en ambos sentidos indefinidamente, de manera que si dos rectas no son paralelas, entonces forzosamente se intersectan en un punto.)

¿Cuál es el entero más cercano al valor de $x - y$ si $x = 1^2 + \frac{2^2}{3} + \frac{3^2}{5} + \ldots + \frac{50^2}{99}$ y $y = \frac{1^2}{3} + \frac{2^2}{5} + \frac{3^2}{7} + \ldots + \frac{50^2}{101}$?

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que cumplen con que su producto es igual a $5$ veces su suma.

En una isla hay dos tipos de habitantes; los $V$ que siempre dicen verdad y los $M$ que siempre dicen mentira. Un inspector llegó a la isla y preguntó a cada uno de los habitantes sobre si otro de los habitantes era $V$ o $M$. No preguntó sobre el mismo habitante dos veces. Luego corrió de la isla a todos aquellos que habían sido señalados de ser $M$. Los $V$ que se quedaron pero que habían acusado a alguien de ser $M$ se sintieron culpables y también se fueron de la isla. La cantidad de los $V$ que se salieron en esta segunda instancia fue la quinta parte de los $V$ que se habían ido en primera instancia. ¿Qué proporción de los habitantes que se fueron de la isla eran $V$?

¿De cuántas maneras es posible cortar un papel cuadriculado de $6 \times 6$ empezando en la parte inferior del papel y llegando a la superior si sólo se puede cortar sobre las líneas de la cuadrícula, las dos piezas en que quede partido deben ser iguales y no se se puede cortar hacia abajo (ver ilustración)? (Nota: Dos piezas se consideran iguales si se puede colocar una sobre la otra y ajustan perfectamente.) [image]

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud 2; $E$ y $F$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y $G$ es un punto en $CF$ tal que $3GC = 2GF$ (ver la figura). ¿Cuál es el área del triángulo $BEG$? [image]

En la mesa hay tres montones de piedras. El montón A tiene 52 piedras, el montón B tiene 40 y el montón C tiene 1. En cada momento Esteban puede hacer uno de los siguientes movimientos: *Quitar 5 piedras de A y ponérselas a B *Quitar 4 piedras de B y ponérselas a C *Quitar 3 piedras de A y ponérselas a C. ¿Cuántos movimientos necesita hacer Esteban para lograr que en todos los montones haya el mismo número de piedras?

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ que cumplan: $a + b + ab = 134$ y $a \leq b$.