Arash y Babak juegan el siguiente juego, turnándose alternativamente, en una tabla de $1400\times 1401$. Arash comienza y en sus turnos colorea $k$, $L$ - esquinas (cualquier tres celdas de un cuadrado). Babak en su turno colorea un cuadrado de $2\times 2$. Ningún jugador puede recolorear ninguna celda. Encontrar todos los enteros positivos $k$ para los cuales Arash tiene una estrategia ganadora.

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{R}$ tales que:\n(a) para todo $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$, $f(P \circ Q) = f(Q \circ P)$;\n(b) para todo $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$ con $PQ \neq 0$, $f(P\cdot Q) = f(P) + f(Q)$.\n( $P \circ Q$ indica $P(Q(x))$ . )

Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sea $AD$ una altura y $H$ el ortocentro. Sea $E$ la reflexión de $H$ con respecto a $A$. Se elige un punto $X$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$ tal que $AC|| DX$ y se elige un punto $Y$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $CDE$ tal que $DY|| AB$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ es tangente a la de $ABC$.

¿Es posible organizar los números naturales del 1 al 8 en los vértices de un cubo de tal manera que cada número divida la suma de los tres números que comparten una arista con él?

$x_1$ es una constante natural. Demostrar que no existe ningún número natural $m> 2500$ tal que la secuencia recursiva $\{x_i\} _{i=1} ^ \infty $ definida por $x_{n+1} = x_n^{s(n)} + 1$ se vuelva eventualmente periódica módulo $m$. (Es decir, no existen números naturales $N$ y $T$ tales que para cada $n\geq N$, $m\mid x_n - x_{n+T}$ ). ( $s(n)$ es la suma de los dígitos de $n$. )

¿Es posible organizar una permutación de enteros en la retícula entera infinita desde ambos lados tal que cada fila aumente de izquierda a derecha y cada columna aumente de arriba a abajo?

Para un número natural $n$, $f(n)$ se define como el número de enteros positivos menores que $n$ que no son ni coprimos con $n$ ni divisores de él. Demostrar que para cada entero positivo $k$ existen sólo finitamente muchos $n$ que satisfacen $f(n) = k$.

Dado un triángulo $ABC$, se eligen puntos variables $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente. Se elige un punto $Z$ en la línea $BC$ tal que $ZX=ZY$. La circunferencia circunscrita de $XYZ$ corta la línea $BC$ por segunda vez en $T$. Se da un punto $P$ en la línea $XY$ tal que $\angle PTZ = 90^ \circ$. El punto $Q$ está en el mismo lado de la línea $XY$ con $A$, además $\angle QXY = \angle ACP$ y $\angle QYX = \angle ABP$. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo $QXY$ pasa por un punto fijo (cuando $X$ e $Y$ varían).

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $a$ y $b$ tenemos $$ f^a(b) + f^b(a) \mid 2(f(ab) +b^2 -1)$$ Donde $f^n(m)$ se define de la manera iterativa estándar.

Para un número natural $n$, $f(n)$ se define como el número de enteros positivos menores que $n$ que no son ni coprimos con $n$ ni divisores de él. Demostrar que para cada entero positivo $k$ existen sólo finitamente muchos $n$ que satisfacen $f(n) = k$.