15 Sea $n \geq 2$ un entero. Encuentra la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k,m) \not \in M$ para cualquier $m$. Amir

16 Sea $Q$ un cuadrado de lado $6$. Encuentra el entero más pequeño $n$ tal que en $Q$ exista un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado de lado $1$ completamente contenido en $Q$ contenga en su interior al menos un punto de $S$. Amir

17 Encuentra los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ( $\sqrt t $ significa la raíz cuadrada positiva de $t$ ) . Amir

18 Demuestra que para ningún entero $a \geq 1, n \geq 1$ la suma \[1+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2a}+\cdots+\frac{1}{1+na}\] es un entero. Amir

10 Encuentra todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\] Amir

2 Recuerde que un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Halle el mayor entero menor que $1000$ que es palíndromo tanto al escribirse en base diez como al escribirse en base ocho, como $292=444_{\text{eight}}$ .

19 Para $k = 1, 2, \ldots$ considera las $k$-tuplas $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos tales que \[a_1 + 2a_2 + \cdots + ka_k = 1979.\] Demuestra que hay tantas de estas $k$-tuplas con $k$ impar como con $k$ par. Amir

20 Demuestra que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentra todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir

2 Cada una de dos rectas distintas paralelas al eje $Ox$ tiene exactamente dos puntos comunes con la gráfica de la función $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ . Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas al eje $Ox$ que cortan la gráfica de $f$ en los puntos $K_1, K_2$ y $K_3, K_4$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero formado por $K_1, K_2, K_3$ y $ K_4$ es un rombo si y solo si su área es igual a $6$ unidades. Amir