Determine todas las funciones $f$ desde el conjunto de enteros no negativos a sí mismo tales que $f(a + b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d)$ , siempre que $a, b, c, d$ , sean enteros no negativos que satisfacen $2ab = c^2 + d^2$ .

Sea $ A_1A_2A_3$ un triángulo no isósceles con incentro $ I.$ Sea $ C_i,$ $ i = 1, 2, 3,$ el círculo más pequeño que pasa por $ I$ tangente a $ A_iA_{i+1}$ y $ A_iA_{i+2}$ (la suma de índices es módulo 3). Sea $ B_i, i = 1, 2, 3,$ el segundo punto de intersección de $ C_{i+1}$ y $ C_{i+2}.$ Demuestre que los circuncentros de los triángulos $ A_1 B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ son colineales.

Demuestre que existe un entero $n$ , $n\geq 2002$ , y $n$ enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que el número $N= a_1^2a_2^2\cdots a_n^2 - 4(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2) $ es un cuadrado perfecto.

Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

Sean $AD, BE$ , y $CF$ las alturas del triángulo $\vartriangle ABC$ . Los puntos $E'$ y $F'$ son las reflexiones de $E$ y $F$ sobre $AD$ , respectivamente. Las líneas $BF'$ y $CE'$ se intersecan en $X$ , mientras que las líneas $BE'$ y $CF'$ se intersecan en el punto $Y$ . Pruebe que si $H$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$ , entonces las líneas $AX, YH$ , y $BC$ son concurrentes.

Determine el número natural más grande $ N $ que tiene la siguiente propiedad: cada matriz de $ 5\times 5 $ que consta de números naturales distintos por pares del $ 1 $ al $ 25 $ contiene una submatriz de $ 2\times 2 $ de números cuya suma es, al menos, $ N. $

Sea un número natural $ n\ge 3. $ Encuentre $$ \inf_{\stackrel{ x_1,x_2,\ldots ,x_n\in\mathbb{R}_{>0}}{1=P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right)}}\sum_{i=1}^n\left( \frac{1}{x_i} -x_i \right) , $$ donde $ P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right) :=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i+n-1} , $ y encuentre en qué circunstancias se alcanza este ínfimo.

Sea $k\geq 2$, $n_1,n_2,\cdots ,n_k\in \mathbb{N}_+$ , tal que $n_2|2^{n_1}-1,n_3|2^{n_2}-1,\cdots ,n_k|2^{n_{k-1}}-1,n_1|2^{n_k}-1$ . Pruebe : $n_ 1=n_ 2=\cdots=n_k=1$ .

Sea $\mathcal F = \{ f: [0,1] \to [0,\infty) \mid f$ continua $\}$ y $n$ un entero, $n\geq 2$ . Encuentra la constante real más pequeña $c$ tal que para cualquier $f\in \mathcal F$ la siguiente desigualdad se cumple \[ \int^1_0 f \left( \sqrt [n] x \right) dx \leq c \int^1_0 f(x) dx. \]

Demuestra que si $A$ es un anillo conmutativo finito con al menos dos elementos y $n$ es un entero positivo, entonces existe un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $A$ que no tiene ninguna raíz en $A$ .