Demuestra que cada pentágono convexo tiene un vértice desde el cual la distancia al lado opuesto del pentágono es estrictamente menor que la suma de las distancias desde los dos vértices adyacentes al mismo lado. Nota . Si el pentágono está etiquetado como $ ABCDE$ , los vértices adyacentes de $ A$ son $ B$ y $ E$ , los de $ B$ son $ A$ y $ C$ etc.

¿Existen secuencias de enteros positivos $ 1 \leq a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots$ tales que para cada entero $ n$ , el conjunto $ \left\{a_{k} + n\ |\ k = 1, 2, 3, \ldots\right\}$ contiene finitamente muchos números primos?

Sea $ n \geq 3$ un entero impar. Determine el valor máximo de \[ \sqrt{|x_{1}-x_{2}|}+\sqrt{|x_{2}-x_{3}|}+\ldots+\sqrt{|x_{n-1}-x_{n}|}+\sqrt{|x_{n}-x_{1}|},\] donde $ x_{i}$ son números reales positivos del intervalo $ [0,1]$ .

Dado un entero $n\geq 2,$ coloree de rojo exactamente $n$ celdas de una hoja infinita de papel cuadriculado. Una matriz de cuadrícula rectangular se llama especial si contiene al menos dos celdas rojas en las esquinas opuestas; las celdas rojas individuales y las matrices de cuadrícula de 1 fila o 1 columna cuyas celdas finales son ambas rojas son especiales. Dada una configuración de exactamente $n$ celdas rojas, sea $N$ el número más grande de celdas rojas que puede contener una matriz de cuadrícula rectangular especial. Determine el valor mínimo que puede tomar $N$ sobre todas las configuraciones posibles de exactamente $n$ celdas rojas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<BC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en $K$ . La línea $AK$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $T$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ , y sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ de $\omega$ . El segmento $NT$ interseca la circunferencia circunscrita de $BIC$ en $P$ . Demuestre que $PM\parallel AK$ .

Determine el valor más grande que puede alcanzar la expresión $$ \sum_{1\le i<j\le 4} \left( x_i+x_j \right)\sqrt{x_ix_j} $$ , cuando $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ recorren los números reales no negativos, y suman $ 1. $ Encuentre también los valores específicos de estos números que hacen que la suma anterior alcance el máximo solicitado.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determine quién tiene una estrategia ganadora.

Encuentre todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $m^6 = n^{n+1} + n -1$ .

Sean $ I,O $ el incentro, respectivamente, el circuncentro de un triángulo $ ABC. $ El $ A\text{-excircle} $ toca las líneas $ AB,AC,BC $ en $ K,L, $ respectivamente, $ M. $ El punto medio de $ KL $ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ ABC. $ Demuestre que los puntos $ I,M,O $ son colineales.

Para un número natural $ n, $ una cadena $ s $ de $ n $ dígitos binarios y un número natural $ k\le n, $ defina un $ n,s,k$ -bloque como una cadena de $ k $ elementos consecutivos de $ s. $ Decimos que dos $ n,s,k\text{-bloques} , $ a saber, $ a_1a_2\ldots a_k,b_1b_2\ldots b_k, $ son incompatibles si existe un $ i\in\{1,2,\ldots ,k\} $ tal que $ a_i\neq b_i. $ Además, para dos números naturales $ r\le n, l, $ decimos que $ s $ es $ r,l $ -tipado si hay, a lo sumo, $ l $ $ n,s,r\text{-bloques} $ por pares incompatibles. Sea una cadena $ 3,7\text{-tipada} $ $ t $ que consta de $ 10000 $ dígitos binarios. Determine el número máximo $ M $ que satisface la condición de que $ t $ es $ 10,M\text{-tipado} . $