N1 Para cualquier entero positivo $k$ , denote la suma de los dígitos de $k$ en su representación decimal por $S(k)$ . Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier entero positivo $n \geq 2016$ , el entero $P(n)$ es positivo y $$S(P(n)) = P(S(n)).$$ Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

1 Usando $ AB$ y $ AC$ como diámetros, se construyen dos semicírculos respectivamente en el exterior del triángulo acutángulo $ ABC$ . $ AH \perp BC$ en $ H$ , $ D$ es cualquier punto sobre el lado $ BC$ ( $ D$ no coincide con $ B$ ni con $ C$ ), por $ D$ , trace $ DE \parallel AC$ y $ DF \parallel AB$ con $ E$ y $ F$ sobre los dos semicírculos respectivamente. Demuestre que $ D$ , $ E$ , $ F$ y $ H$ son concíclicos.

N7 Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre un círculo. Sea $S$ el área de $P$ . Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$ . Demuestre que $2S$ es un entero divisible por $n$ .

N8 Halle todos los polinomios $P(x)$ de grado impar $d$ y con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente propiedad: para cada entero positivo $n$ , existen $n$ enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\frac12 < \frac{P(x_i)}{P(x_j)} < 2$ y $\frac{P(x_i)}{P(x_j)}$ es la $d$ -ésima potencia de un número racional para cada par de índices $i$ y $j$ con $1 \leq i, j \leq n$ .

1 Sea $n > 1$ un entero y sea $f(x) = x^n + 5 \cdot x^{n-1} + 3.$ Demuestre que no existen polinomios $g(x),h(x),$ cada uno con coeficientes enteros y grado al menos uno, tales que $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

2 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en el plano, con $C$ y $D$ en el mismo lado de la recta $AB$ , tales que $AC \cdot BD = AD \cdot BC$ y $\angle ADB = 90^{\circ}+\angle ACB$ . Halle la razón \[\frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD}, \] y demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales. (Se dice que dos círculos que se intersecan son ortogonales si en cualquiera de sus puntos comunes sus tangentes son perpendiculares. Así, demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ son ortogonales es equivalente a demostrar que las tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$ en el punto $C$ son perpendiculares.)

4 Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la menor de las longitudes de las tres alturas del triángulo $ABC$ , donde en el caso en que $A$ , $B$ , $C$ son colineales, ponemos $m(ABC) = 0$ . Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos dados en el plano. Demuestre que para cualquier punto $X$ en el plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

5 Sea $\mathbb{N} = \{1,2,3, \ldots\}$ . Determine si existe una función estrictamente creciente $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ con las siguientes propiedades: (i) $f(1) = 2$ ; (ii) $f(f(n)) = f(n) + n, (n \in \mathbb{N})$ .

6 Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar encendida o apagada, comenzamos con la situación en que todas las lámparas están encendidas, y luego llevamos a cabo una sucesión de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma módulo $n$ ) está encendida, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de encendida a apagada o de apagada a encendida) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está apagada, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Muestre que: (i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están encendidas nuevamente, (ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están encendidas después de $n^2-1$ pasos, (iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están encendidas después de $n^2 - n + 1$ pasos.

5 Dado un rectángulo de $m \times n$ con $m,n\geq 2023$ . La casilla de la $i$ -ésima fila y la $j$ -ésima columna se rellena con el número $i+j$ para $1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n$ . En cada movimiento, Alice puede elegir un subrectángulo de $2023 \times 2023$ y sumar $1$ a cada número que contiene. Alice gana si todos los números son múltiplos de $2023$ después de un número finito de movimientos. ¿Para qué pares $(m,n)$ puede ganar Alice? Propuesto por Boon Qing Hong