2 ¿Podemos hallar reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_{2002}$ tales que para cualquier entero positivo $k$ , con $1 \leq k \leq 2002$ , toda raíz compleja $z$ del siguiente polinomio $f(x)$ satisfaga la condición $|\text{Im } z| \leq |\text{Re } z|$ , \[f(x)=a_{k+2001}x^{2001}+a_{k+2000}x^{2000}+ \cdots + a_{k+1}x+a_k,\] donde $a_{2002+i}=a_i$ , para $i=1,2, \dots, 2001$ .

2 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$ . Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots$ , 5 está coloreado de rojo o de azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

3 Dos círculos en un plano se intersecan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente de $A$ , dos puntos se mueven con velocidad constante, recorriendo cada uno su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestre que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre equidistantes de $P.$

A2 Sean $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ los conjuntos de los enteros y de los racionales, respectivamente. a) ¿Existe una partición de $\mathbb{Z}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tal que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ sean disjuntos? b) ¿Existe una partición de $\mathbb{Q}$ en tres subconjuntos no vacíos $A,B,C$ tal que los conjuntos $A+B, B+C, C+A$ sean disjuntos? Aquí $X+Y$ denota el conjunto $\{ x+y : x \in X, y \in Y \}$ , para $X,Y \subseteq \mathbb{Z}$ y para $X,Y \subseteq \mathbb{Q}$ .

A3 Sea $n\ge 3$ un entero, y sean $a_2,a_3,\ldots ,a_n$ números reales positivos tales que $a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=1$ . Demuestre que \[(1 + a_2)^2 (1 + a_3)^3 \dotsm (1 + a_n)^n > n^n.\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia

A4 Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestre que $f$ tiene una raíz racional.

A5 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen las condiciones \[f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y) \quad \text{for all } x,y \in \mathbb{R},\] y $f(-1) \neq 0$ .

A6 Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, y sea $f^m$ la función $f$ aplicada $m$ veces. Suponga que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe un $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n)=n+k$ , y sea $k_n$ el menor de tales $k$ . Demuestre que la sucesión $k_1,k_2,\ldots $ es no acotada. Propuesto por Palmer Mebane, Estados Unidos

A7 Decimos que una función $f:\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}$ es un metapolinomio si, para algunos enteros positivos $m$ y $n$ , puede representarse en la forma \[f(x_1,\cdots , x_k )=\max_{i=1,\cdots , m} \min_{j=1,\cdots , n}P_{i,j}(x_1,\cdots , x_k),\] donde los $P_{i,j}$ son polinomios multivariados. Demuestre que el producto de dos metapolinomios es también un metapolinomio.

10.3 El polinomio de siete variables $$ Q(x_1,x_2,\ldots,x_7)=(x_1+x_2+\ldots+x_7)^2+2(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_7^2) $$ se representa como la suma de siete cuadrados de polinomios con coeficientes enteros no negativos: $$ Q(x_1,\ldots,x_7)=P_1(x_1,\ldots,x_7)^2+P_2(x_1,\ldots,x_7)^2+\ldots+P_7(x_1,\ldots,x_7)^2. $$ Halle todos los valores posibles de $P_1(1,1,\ldots,1)$. (A. Yuran)