6 Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar encendida o apagada, comenzamos con la situación en que todas las lámparas están encendidas, y luego llevamos a cabo una sucesión de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma módulo $n$ ) está encendida, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de encendida a apagada o de apagada a encendida) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está apagada, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Muestre que: (i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas están encendidas nuevamente, (ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están encendidas después de $n^2-1$ pasos, (iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están encendidas después de $n^2 - n + 1$ pasos.