8 Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2$ escrito en base $4$ contiene solo los dígitos $1$ y $2$.

3 Determine el valor mínimo de $a^{2} + b^{2}$ cuando $(a,b)$ recorre todos los pares de números reales para los cuales la ecuación \[ x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 = 0 \] tiene al menos una raíz real.

3 Sea $ \triangle ABC $ un triángulo acutángulo con circuncentro $ O $ y baricentro $ G .$ Sea $ D $ el punto medio de $ BC $ y sea $ E\in \odot (BC) $ un punto interior de $ \triangle ABC $ tal que $ AE \perp BC . $ Sean $ F=EG \cap OD $ y $ K, L $ los puntos sobre $ BC $ tales que $ FK \parallel OB, FL \parallel OC . $ Sea $ M \in AB $ un punto tal que $ MK \perp BC $ y sea $ N \in AC $ un punto tal que $ NL \perp BC . $ Sea $ \omega $ una circunferencia tangente a $ OB, OC $ en $ B, C, $ respectivamente $ . $ Demuestre que $ \odot (AMN) $ es tangente a $ \omega $

G6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente, y se intersecan entre sí en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BPD$ . Los segmentos $BM$ y $DM$ intersecan a $\omega$ nuevamente en $X$ y $Y$ , respectivamente. Denote por $Q$ el punto de intersección de las rectas $XE$ y $YF$ . Demuestre que $PQ \perp AC$ .

G7 Sea $I$ el incentro de un triángulo no equilátero $ABC$ , sea $I_A$ el $A$ - excentro, sea $I'_A$ la reflexión de $I_A$ respecto a $BC$ , y sea $l_A$ la reflexión de la recta $AI'_A$ respecto a $AI$ . Defina los puntos $I_B$ , $I'_B$ y la recta $l_B$ de manera análoga. Sea $P$ el punto de intersección de $l_A$ y $l_B$ . Demuestre que $P$ se encuentra sobre la recta $OI$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . Sea una de las tangentes desde $P$ a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ que interseca la circunferencia circunscrita en los puntos $X$ y $Y$ . Muestre que $\angle XIY = 120^{\circ}$ .

G8 Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ puntos sobre los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ , respectivamente, tales que $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son las bisectrices interiores de los ángulos del triángulo $ABC$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ , y $H$ el ortocentro del triángulo $A_1B_1C_1$ . Muestre que $$AH + BH + CH \geq AI + BI + CI.$$

N1 Para cualquier entero positivo $k$ , denote la suma de los dígitos de $k$ en su representación decimal por $S(k)$ . Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier entero positivo $n \geq 2016$ , el entero $P(n)$ es positivo y $$S(P(n)) = P(S(n)).$$ Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

N2 Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos de $n$ . Sea $\tau_1(n)$ el número de divisores positivos de $n$ que tienen resto $1$ al ser divididos por $3$ . Halle todos los valores enteros positivos de la fracción $\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}$ .

N3 Un conjunto de enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$ . ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?

10 Sean $x_1,x_2,x_3\geq 0$ y $x_1+x_2+x_3=1$ . Halle el valor mínimo y el valor máximo de $(x_1+3x_2+5x_3)\left(x_1+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{5}\right).$ .