C4 Halle todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de una tabla $n \times n$ puede llenarse con una de las letras $I,M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y en cada columna, un tercio de las entradas son $I$ , un tercio son $M$ y un tercio son $O$ ; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas son $I$ , un tercio son $M$ y un tercio son $O$ . Nota. Las filas y las columnas de una tabla $n \times n$ están etiquetadas de $1$ a $n$ en orden natural. Así, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i,j)$ con $1 \le i,j \le n$ . Para $n>1$ , la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i+j$ es constante, y la diagonal del segundo tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

C5 Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Halle el número máximo de diagonales de un $n$ -gono regular que se pueden seleccionar, de modo que cualesquiera dos de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

C6 Hay $n \geq 3$ islas en una ciudad. Inicialmente, la compañía de transbordadores ofrece algunas rutas entre algunos pares de islas, de modo que es imposible dividir las islas en dos grupos tales que no haya dos islas de grupos diferentes conectadas por una ruta de transbordador. Después de cada año, la compañía de transbordadores cerrará una ruta de transbordador entre dos islas $X$ y $Y$ . Al mismo tiempo, para mantener su servicio, la compañía abrirá nuevas rutas de acuerdo con la siguiente regla: para cualquier isla que esté conectada por una ruta de transbordador con exactamente una de $X$ y $Y$ , se añade una nueva ruta entre esta isla y la otra de $X$ y $Y$ . Suponga que en cualquier momento, si dividimos todas las islas en dos grupos no vacíos de cualquier manera, entonces se sabe que la compañía de transbordadores cerrará cierta ruta que conecta dos islas de los dos grupos después de algunos años. Demuestre que después de algunos años habrá una isla que esté conectada con todas las demás islas por rutas de transbordador.

6 Halle la constante máxima $ M$ tal que, para cualquier entero $ n\geq 3,$ existen dos sucesiones de números reales positivos $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},$ y $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{n},$ que satisfacen (1) : $ \sum_{k = 1}^{n}b_{k} = 1,2b_{k}\geq b_{k - 1} + b_{k + 1},k = 2,3,\cdots,n - 1;$ (2) : $ a_{k}^2\leq 1 + \sum_{i = 1}^{k}a_{i}b_{i},k = 1,2,3,\cdots,n, a_{n}\equiv M$ . Fang-jh

1 Para un entero positivo $n$ y un subconjunto no vacío $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , llamamos a $A$ bueno si el conjunto $\{u\pm v|u,v\in A\}$ no contiene al conjunto $\{1,2,...,n\}$ . Halle el menor número real $c$ tal que, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier subconjunto bueno $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , se tenga $|A|\leq cn$ .

2 Considere cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una recta que pasa por $ A$ . Suponga que $ \ell$ corta al interior del segmento $ DC$ en $ F$ y corta a la recta $ BC$ en $ G$ . Suponga también que $ EF = EG = EC$ . Demuestre que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ . Autor: Charles Leytem, Luxemburgo Valentin

C7 Hay $n\ge 2$ segmentos de recta en el plano tales que cada dos segmentos se cruzan y ningún tres segmentos se encuentran en un punto. Geoff tiene que elegir un extremo de cada segmento y colocar una rana en él mirando hacia el otro extremo. Luego aplaudirá $n-1$ veces. Cada vez que aplaude, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección en su segmento. Las ranas nunca cambian la dirección de sus saltos. Geoff desea colocar las ranas de tal manera que nunca dos de ellas ocupen el mismo punto de intersección al mismo tiempo. (a) Demuestre que Geoff siempre puede cumplir su deseo si $n$ es impar. (b) Demuestre que Geoff nunca puede cumplir su deseo si $n$ es par.

C8 Sea $n$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $k$ con la siguiente propiedad: es posible marcar $k$ celdas en un tablero $2n \times 2n$ de modo que exista una única partición del tablero en fichas de dominó $1 \times 2$ y $2 \times 1$ , ninguna de las cuales contenga dos celdas marcadas.

G1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$ . Sea $A$ el punto sobre la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$ . El punto $D$ se elige de modo que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$ . El punto $E$ se elige de modo que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$ . Sea $M$ el punto medio de $CF$ . Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD,FX$ y $ME$ son concurrentes.

40 Los números $1, 2, 3,\ldots , 64$ se colocan en un tablero de ajedrez, un número en cada casilla. Considere todos los cuadrados del tablero de tamaño $2 \times 2.$ Demuestre que hay al menos tres de tales cuadrados para los cuales la suma de los $4$ números contenidos supera $100.$ Amir