Sea $n$ un entero, $n \ge 2$ . Para cada número $k = 1, 2, ....., n,$ denotemos por $a _ k$ el número de múltiplos de $k$ en el conjunto $\{1, 2,. .., n \}$ y sea $x _ k = \frac {1} {1} + \frac {1} {2} + \frac {1} {3} _... + \frac {1} {a _ k}$ . Demostrar que: $$\frac {x _ 1 + x _ 2 + ... + x _ n} {n} \le \frac {1} {1 ^ 2} + \frac {1} {2 ^ 2} + ... + \frac {1} {n ^ 2} $$ .

Consideremos dos triángulos equiláteros $ABC$ y $MNP$ con la propiedad de que $AB \parallel MN, BC \parallel NP$ y $CA \parallel PM$ , de modo que las superficies de los triángulos se cruzan después de un hexágono convexo. Las distancias entre los tres pares de líneas paralelas son a lo sumo iguales a $1$ . Demostrar que al menos uno de los dos triángulos tiene el lado a lo sumo igual a $\sqrt {3}$ .

Sea $I$ el incentro del triángulo escaleno ABC y denotemos por $a,$ $b$ los círculos con diámetros $IC$ e $IB$ , respectivamente. Si $c,$ $d$ son imágenes especulares de $a,$ $b$ en $IC$ e $IB$ demostrar que el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el eje radical de $c$ y $d$ .

Determinar los enteros $n, n \ge 2$ , con la propiedad de que los números $1! , 2 ! , 3 ! , ..., (n- 1)!$ dan restos diferentes al dividir por $n $ .

Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales tales que $a_1 + a_2 + ... + a_n = 0$ y $| a_1 | + | a_2 | + ... + | a_n | = 1$ . Demostrar que: $| a _ 1 + 2 a _ 2 + ... + n a _ n | \le \frac {n-1} {2}$ .

Consideramos en un círculo una cantidad finita de números reales con la suma estrictamente mayor que $0$ . De todas las sumas que tienen como términos números en posiciones consecutivas en el círculo, sea $S$ la suma más grande y $s$ la suma más pequeña. Demostrar que $S + s> 0$ .

Sea $n$ un número natural no nulo, $n \ge 5$ . Considere $n$ puntos distintos en el plano, cada uno coloreado de blanco o negro. Para cada $k$ natural, un movimiento de tipo $k, 1 \le k <\frac {n} {2}$ , significa seleccionar exactamente $k$ puntos y cambiar su color. Determine los valores de $n$ para los cuales, cualquiera que sea $k$ e independientemente de la coloración inicial, existe una secuencia finita de movimientos de tipo $k$, al final de la cual todos los puntos tienen el mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y sea $n$ un número natural, $n>1$ . En el lado $AB$ consideramos el punto $M$ tal que $n \cdot AM = AB$ . En el lado $BC$ consideramos los puntos $P_1, P_2, ....., P_ {n-1}$ tales que $BP_1 = P_1P_2 = .... = P_ {n-1} C = \frac{1}{n} BC$ . Demostrar que: $\angle {MP_1A} + \angle {MP_2A} + .... + \angle {MP_ {n-1} A} = \frac{1} {2} \angle {BAC}$ .

Sea $n \ne 0$ un número natural y enteros $x_1, x_2, ...., x_n, y_1, y_2, ...., y_n$ con las propiedades: a) $x_1 + x_2 + .... + x_n = y_1 + y_2 + .... + y_n = 0,$ b) $x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 = x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 = .... = x_n ^ 2 + y_n ^ 2$ . Demostrar que $n$ es par.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle BCD= 120^o, \angle {CBA} = 45^o, \angle {CBD} = 15^o$ y $\angle {CAB} = 90^o$ . Demostrar que $AB = AD$ .