a) Suponga que $ RBR'B'$ es un cuadrilátero convexo tal que los vértices $ R$ y $ R'$ tienen color rojo y los vértices $ B$ y $ B'$ tienen color azul. Colocamos $ k$ puntos arbitrarios de colores azul y rojo en el cuadrilátero tal que no cuatro de estos $ k+4$ puntos (excepto probablemente $ RBR'B'$ ) se encuentran en un círculo. Demuestre que ocurre exactamente uno de los siguientes casos: 1. Existe un camino desde $ R$ hasta $ R'$ tal que la distancia de cada punto en este camino desde uno de los puntos rojos es menor que su distancia desde todos los puntos azules. 2. Existe un camino desde $ B$ hasta $ B'$ tal que la distancia de cada punto en este camino desde uno de los puntos azules es menor que su distancia desde todos los puntos rojos. Llamamos a estos dos caminos el camino azul y el camino rojo respectivamente. Sea $ n$ un número natural. Dos personas juegan el siguiente juego. En cada paso, un jugador coloca un punto en el cuadrilátero que satisface las condiciones anteriores. El primer jugador solo coloca puntos rojos y el segundo jugador solo coloca puntos azules. El juego termina cuando cada jugador ha colocado $ n$ puntos en el plano. El objetivo del primer jugador es hacer un camino rojo desde $ R$ hasta $ R'$ y el objetivo del segundo jugador es hacer un camino azul desde $ B$ hasta $ B'$ . b) Demuestre que si $ RBR'B'$ es un rectángulo entonces para cada $ n$ el segundo jugador gana. c) Intente especificar el ganador para otros cuadriláteros.

Considere seis puntos arbitrarios en el espacio. Cada dos puntos están unidos por un segmento. Demuestre que hay dos triángulos que no se pueden separar.

Un subconjunto $ S$ de $ \mathbb R^2$ se llama un conjunto algebraico si y solo si existe un polinomio $ p(x,y)\in\mathbb R[x,y]$ tal que \[ S = \{(x,y)\in\mathbb R^2|p(x,y) = 0\} \n\] ¿Son los siguientes subconjuntos del plano conjuntos algebraicos? 1. Un cuadrado 2. Un semicírculo cerrado

La policía quiere arrestar a los criminales famosos del país cuyo nombre es Kaiser. Kaiser está en una de las calles de una ciudad en forma de cuadrado con $ n$ calles verticales y $ n$ calles horizontales. En los siguientes casos, ¿cuántos oficiales de policía se necesitan para arrestar a Kaiser? a) Cada oficial de policía tiene la misma velocidad que Kaiser y cada oficial de policía conoce la ubicación de Kaiser en cualquier momento. b) Kaiser tiene una velocidad infinita (finita pero sin límite) y los oficiales de policía solo pueden saber dónde está cuando uno de ellos ve a Kaiser. Todos en este problema (incluidos los oficiales de policía y Kaiser) se mueven continuamente y pueden detenerse o cambiar su camino.

a) Demuestre que hay dos polinomios en $ \mathbb Z[x]$ con al menos un coeficiente mayor que 1387 tales que los coeficientes de su producto están en el conjunto $ \{-1,0,1\}$ . b) ¿Existe un múltiplo de $ x^2-3x+1$ tal que todos sus coeficientes estén en el conjunto $ \{-1,0,1\}$

$BC$ es un diámetro de un círculo y los puntos $X,Y$ están en el círculo tal que $XY\perp BC$. Los puntos $P,M$ están en $XY,CY$ (o sus extensiones), respectivamente, tal que $CY||PB$ y $CX||PM$. Sea $K$ el punto de encuentro de las líneas $XC,BP$. Demuestre que $PB\perp MK$.

Tenemos un rectángulo de $2\times n$. Llamamos a cada cuadrado de $1\times1$ una habitación y mostramos la habitación en la fila $i^{th}$ y la columna $j^{th}$ como $(i,j)$. Hay algunas monedas en algunas habitaciones del rectángulo. Si existe más de $1$ moneda en cada habitación, podemos eliminar $2$ monedas de ella y agregar $1$ moneda a su habitación adyacente de la derecha O podemos eliminar $2$ monedas de ella y agregar $1$ moneda a su habitación adyacente de arriba. Demuestre que existe una configuración finita de operaciones permitidas tal que podamos poner una moneda en la habitación $(1,n)$.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ tal que para todos los números reales positivos $x$ e $y$, la siguiente ecuación se cumple: \[(x+y)f(f(x)y)=x^2f(f(x)+f(y)).\]

En una galaxia, existen más de un millón de estrellas. Sea $M$ el conjunto de las distancias entre dos de ellas. Demuestre que, en todo momento, $M$ tiene al menos $79$ miembros. (Suponga cada estrella como un punto).

En el triángulo $ABC$, $\angle A=60^{\circ}$. El punto $D$ cambia en el segmento $BC$. Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de los triángulos $\Delta ABD,\Delta ACD$, respectivamente. Sea $M$ el punto de encuentro de $BO_1,CO_2$ y sea $N$ el circuncentro de $\Delta DO_1O_2$. Demuestre que, al cambiar $D$ en $BC$, la línea $MN$ pasa por un punto constante.