Determinar los números primos $p, q, r$ con la propiedad $\frac {1} {p} + \frac {1} {q} + \frac {1} {r} \ge 1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC = \angle ADC < 90^{\circ}$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se encuentran con $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, y se encuentran entre sí en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio de $AC$ y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BPD$. Los segmentos $BM$ y $DM$ se intersecan con $\omega$ nuevamente en $X$ e $Y$ respectivamente. Denotemos por $Q$ el punto de intersección de las rectas $XE$ e $YF$. Demuestre que $PQ \perp AC$.

Sea $n$ un entero positivo, y sea $S_n$ el conjunto de todas las permutaciones de $1,2,...,n$. sea $k$ un entero no negativo, sea $a_{n,k}$ el número de permutaciones pares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$ y $b_{n,k}$ el número de permutaciones impares $\sigma$ en $S_n$ tales que $\sum_{i=1}^{n}|\sigma(i)-i|=2k$. Evalúe $a_{n,k}-b_{n,k}$.

Considere las fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe tal fracción $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$. (b) Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$.

Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Encuentre el número máximo de diagonales en un $n$-gono regular que se puede seleccionar, de modo que dos cualesquiera de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

Encuentre la constante más pequeña $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

Sea m un entero positivo, sea $p$ un primo, sea $a_1=8p^m$, y sea $a_n=(n+1)^{\frac{a_{n-1}}{n}}$, $n=2,3...$. Determine los primos $p$ para los cuales los productos $a_n(1-\frac{1}{a_1})(1-\frac{1}{a_2})...(1-\frac{1}{a_n})$, $n=1,2,3...$ son todos integrales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero de modo que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$. Demuestre que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera pasan todas por un punto fijo, o son todas paralelas.

Sea $n$ un entero positivo relativamente primo con $6$. Pintamos los vértices de un $n$-gono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestre que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de diferentes colores.

Determine todos los enteros $n\geq 2$ tales que $a+\sqrt{2}$ y $a^n+\sqrt{2}$ son ambos racionales para algún número real $a$ que depende de $n$