Sean $n,p>1$ enteros positivos y $p$ primo. Sabemos que $n|p-1$ y $p|n^3-1$. Demuestre que $4p-3$ es un cuadrado perfecto.

Llame a un polinomio $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots a_1x+a_0$ con coeficientes enteros primitivo si y solo si $\gcd(a_n,a_{n-1},\dots a_1,a_0) =1$ . a) Sea $P(x)$ un polinomio primitivo con grado menor que $1398$ y $S$ sea un conjunto de primos mayores que $1398$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ de modo que $P(n)$ no es divisible por ningún primo en $S$ . b) Demuestre que existe un polinomio primitivo $P(x)$ con grado menor que $1398$ de modo que para cualquier conjunto $S$ de primos menores que $1398$ el polinomio $P(x)$ es siempre divisible por el producto de los elementos de $S$ .

Un oso está en el centro de la esquina inferior izquierda de un cuadrado de $100*100$ . Llamamos ciclo en esta cuadrícula a un ciclo de oso si visita cada cuadrado exactamente una vez y regresa al lugar donde comenzó. Eliminar una fila o columna compondrá el ciclo de oso en un número de caminos. Encuentre el mínimo $k$ para que en cualquier ciclo de oso podamos eliminar una fila o columna de modo que la longitud máxima de los caminos restantes sea como máximo $k$ .

Sean $a,m$ enteros positivos tales que $Ord_m (a)$ es impar y para cualesquiera enteros $x,y$ tales que 1 . $xy \equiv a \pmod m$ 2 . $Ord_m(x) \le Ord_m(a)$ 3 . $Ord_m(y) \le Ord_m(a)$ Tenemos que ya sea $Ord_m(x)|Ord_m(a)$ o $Ord_m(y)|Ord_m(a)$ . demuestre que $Ord_m(a)$ contiene como máximo un factor primo.

En el triángulo acutángulo $ABC$ las alturas $BE,CF$ se encuentran en $H$ . Se dibuja una línea perpendicular desde $H$ a $EF$ e interseca el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ (que no contiene a $A$ ) en $K$ . Si $AK,BC$ se encuentran en $P$ , demuestre que $PK=PH$ .

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ de modo que para cualesquiera enteros positivos distintos $x,y,z$ el valor de $x+y+z$ es un cuadrado perfecto si y solo si $f(x)+f(y)+f(z)$ es un cuadrado perfecto.

Las celdas de un cuadrado de $n*n$ se llenan con enteros positivos de manera que en la intersección de la $i-$ ésima columna y la $j-$ ésima fila, se escribe el número $i+j$. En cada paso, podemos elegir dos rectángulos iguales que no se intersecten con una dimensión igual a $n$ e intercambiar todos los números dentro de estos dos rectángulos entre sí. (sin reflexión ni rotación) Encuentre el número mínimo de movimientos que se deben hacer para alcanzar la posición donde la intersección de la $i-$ ésima columna y la $j-$ ésima fila está escrita $2n+2-i-j$ .

Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m>n$ , hay infinitos enteros positivos $a,b$ tales que el conjunto de divisores primos de $a^m+b^n$ es igual al conjunto de divisores primos de $a^{2019}+b^{1398}$ .

Hossna está jugando con una cuadrícula de puntos de $m*n$. En cada turno, ella dibuja segmentos entre puntos con las siguientes condiciones. **1.** No hay dos segmentos que se intersecten. **2.** Cada segmento se dibuja entre dos filas consecutivas. **3.** Hay como máximo un segmento entre dos puntos cualesquiera. Encuentre el número máximo de regiones que Hossna puede crear.

Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos y defina: $T=\{ x+y|x,y \in S , x \neq y \} $ Suponga que solo hay primos finitos $p$ de manera que: 1 . $p \equiv 1 \pmod 4$ 2. Existe un entero positivo $s$ de manera que $p|s,s \in T$ . Demuestre que hay infinitos primos que dividen al menos un término de $S$ .